Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53070 / 22206
↖ ↑ ↗
← N 50.071244°
E111.522217°		 ← 392.07 m → N 50.071244°
E111.527710°		 →
↑
392.01 m
↓
↑
392.01 m
↓
N 50.067718°
E111.522217°		 ← 392.09 m →
153 698 m²		 N 50.067718°
E111.527710°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53070 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22206 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.809791564941406 y=0.338844299316406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.809791564941406 × 216)
    floor (0.809791564941406 × 65536)
    floor (53070.5)     		tx = 53070
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.338844299316406 × 216)
    floor (0.338844299316406 × 65536)
    floor (22206.5)     		ty = 22206
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53070 / 22206 ti = "16/53070/22206"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53070/22206.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53070 ÷ 216
    53070 ÷ 65536     		x = 0.809783935546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22206 ÷ 216
    22206 ÷ 65536     		y = 0.338836669921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.809783935546875 × 2 - 1) × π
    0.61956787109375 × 3.1415926535     		Λ = 1.94642987
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.338836669921875 × 2 - 1) × π
    0.32232666015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.01261906757407
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.94642987} λ = 1.94642987}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.01261906757407))-π/2
    2×atan(2.7528013545787)-π/2
    2×1.22235219460971-π/2
    2.44470438921942-1.57079632675     		φ = 0.87390806
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.94642987} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 111.522217°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87390806 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.071244°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53070 KachelY 22206 1.94642987 0.87390806 111.522217 50.071244
    Oben rechts KachelX + 1 53071 KachelY 22206 1.94652575 0.87390806 111.527710 50.071244
    Unten links KachelX 53070 KachelY + 1 22207 1.94642987 0.87384653 111.522217 50.067718
    Unten rechts KachelX + 1 53071 KachelY + 1 22207 1.94652575 0.87384653 111.527710 50.067718
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87390806-0.87384653) × R
    6.15299999999763e-05 × 6371000     		dl = 392.007629999849m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87390806-0.87384653) × R
    6.15299999999763e-05 × 6371000     		dr = 392.007629999849m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.94642987-1.94652575) × cos(0.87390806) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.641834587307802 × 6371000     		do = 392.065607571903m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.94642987-1.94652575) × cos(0.87384653) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.641881769949644 × 6371000     		du = 392.094429158503m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87390806)-sin(0.87384653))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.641834587307802-0.641881769949644)×R²
    abs(1.94652575-1.94642987)×4.71826418426691e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.71826418426691e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.71826418426691e-05×40589641000000     		ar = 153698.358818446m²