Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53068 / 22508
↖ ↑ ↗
← N 48.994636°
E111.511230°		 ← 400.80 m → N 48.994636°
E111.516724°		 →
↑
400.74 m
↓
↑
400.74 m
↓
N 48.991032°
E111.511230°		 ← 400.83 m →
160 620 m²		 N 48.991032°
E111.516724°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53068 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22508 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.809761047363281 y=0.343452453613281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.809761047363281 × 216)
    floor (0.809761047363281 × 65536)
    floor (53068.5)     		tx = 53068
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.343452453613281 × 216)
    floor (0.343452453613281 × 65536)
    floor (22508.5)     		ty = 22508
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53068 / 22508 ti = "16/53068/22508"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53068/22508.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53068 ÷ 216
    53068 ÷ 65536     		x = 0.80975341796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22508 ÷ 216
    22508 ÷ 65536     		y = 0.34344482421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.80975341796875 × 2 - 1) × π
    0.6195068359375 × 3.1415926535     		Λ = 1.94623812
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.34344482421875 × 2 - 1) × π
    0.3131103515625 × 3.1415926535     		Φ = 0.983665180203552
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.94623812} λ = 1.94623812}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.983665180203552))-π/2
    2×atan(2.67423987263295)-π/2
    2×1.2129570202526-π/2
    2.42591404050521-1.57079632675     		φ = 0.85511771
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.94623812} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 111.511230°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85511771 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.994636°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53068 KachelY 22508 1.94623812 0.85511771 111.511230 48.994636
    Oben rechts KachelX + 1 53069 KachelY 22508 1.94633400 0.85511771 111.516724 48.994636
    Unten links KachelX 53068 KachelY + 1 22509 1.94623812 0.85505481 111.511230 48.991032
    Unten rechts KachelX + 1 53069 KachelY + 1 22509 1.94633400 0.85505481 111.516724 48.991032
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85511771-0.85505481) × R
    6.28999999999769e-05 × 6371000     		dl = 400.735899999853m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85511771-0.85505481) × R
    6.28999999999769e-05 × 6371000     		dr = 400.735899999853m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.94623812-1.94633400) × cos(0.85511771) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.656129684650302 × 6371000     		do = 400.797788940307m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.94623812-1.94633400) × cos(0.85505481) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.656177150721222 × 6371000     		du = 400.826783659979m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85511771)-sin(0.85505481))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.656129684650302-0.656177150721222)×R²
    abs(1.94633400-1.94623812)×4.74660709206542e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.74660709206542e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.74660709206542e-05×40589641000000     		ar = 160619.872334541m²