Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 53067 / 86519
↖ ↑ ↗
← S 49.822037°
W 34.247131°		 ← 197.05 m → S 49.822037°
W 34.244385°		 →
↑
196.99 m
↓
↑
196.99 m
↓
S 49.823809°
W 34.247131°		 ← 197.04 m →
38 816 m²		 S 49.823809°
W 34.244385°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53067 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86519 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.404872894287109 y=0.660091400146484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.404872894287109 × 217)
    floor (0.404872894287109 × 131072)
    floor (53067.5)     		tx = 53067
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.660091400146484 × 217)
    floor (0.660091400146484 × 131072)
    floor (86519.5)     		ty = 86519
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53067 / 86519 ti = "17/53067/86519"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53067/86519.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53067 ÷ 217
    53067 ÷ 131072     		x = 0.404869079589844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86519 ÷ 217
    86519 ÷ 131072     		y = 0.660087585449219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.404869079589844 × 2 - 1) × π
    -0.190261840820312 × 3.1415926535     		Λ = -0.59772520
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.660087585449219 × 2 - 1) × π
    -0.320175170898438 × 3.1415926535     		Φ = -1.00585996472764
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.59772520} λ = -0.59772520}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.00585996472764))-π/2
    2×atan(0.365729984642754)-π/2
    2×0.350618869491029-π/2
    0.701237738982057-1.57079632675     		φ = -0.86955859
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.59772520} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.247131°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.86955859 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.822037°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53067 KachelY 86519 -0.59772520 -0.86955859 -34.247131 -49.822037
    Oben rechts KachelX + 1 53068 KachelY 86519 -0.59767726 -0.86955859 -34.244385 -49.822037
    Unten links KachelX 53067 KachelY + 1 86520 -0.59772520 -0.86958951 -34.247131 -49.823809
    Unten rechts KachelX + 1 53068 KachelY + 1 86520 -0.59767726 -0.86958951 -34.244385 -49.823809
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.86955859--0.86958951) × R
    3.09199999999343e-05 × 6371000     		dl = 196.991319999582m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.86955859--0.86958951) × R
    3.09199999999343e-05 × 6371000     		dr = 196.991319999582m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.59772520--0.59767726) × cos(-0.86955859) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.645163866845237 × 6371000     		do = 197.049651452339m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.59772520--0.59767726) × cos(-0.86958951) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.645140242289256 × 6371000     		du = 197.042435904846m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.86955859)-sin(-0.86958951))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.645163866845237-0.645140242289256)×R²
    abs(-0.59767726--0.59772520)×2.36245559813719e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.36245559813719e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.36245559813719e-05×40589641000000     		ar = 38816.3602481632m²