Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53067 / 86452
↖ ↑ ↗
← S 49.703168°
W 34.247131°		 ← 197.53 m → S 49.703168°
W 34.244385°		 →
↑
197.50 m
↓
↑
197.50 m
↓
S 49.704944°
W 34.247131°		 ← 197.53 m →
39 012 m²		 S 49.704944°
W 34.244385°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53067 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86452 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.404872894287109 y=0.659580230712891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.404872894287109 × 217)
    floor (0.404872894287109 × 131072)
    floor (53067.5)     		tx = 53067
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.659580230712891 × 217)
    floor (0.659580230712891 × 131072)
    floor (86452.5)     		ty = 86452
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53067 / 86452 ti = "17/53067/86452"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53067/86452.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53067 ÷ 217
    53067 ÷ 131072     		x = 0.404869079589844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86452 ÷ 217
    86452 ÷ 131072     		y = 0.659576416015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.404869079589844 × 2 - 1) × π
    -0.190261840820312 × 3.1415926535     		Λ = -0.59772520
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.659576416015625 × 2 - 1) × π
    -0.31915283203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.00264819245309
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.59772520} λ = -0.59772520}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.00264819245309))-π/2
    2×atan(0.3669065144289)-π/2
    2×0.351656200712664-π/2
    0.703312401425328-1.57079632675     		φ = -0.86748393
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.59772520} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.247131°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.86748393 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.703168°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53067 KachelY 86452 -0.59772520 -0.86748393 -34.247131 -49.703168
    Oben rechts KachelX + 1 53068 KachelY 86452 -0.59767726 -0.86748393 -34.244385 -49.703168
    Unten links KachelX 53067 KachelY + 1 86453 -0.59772520 -0.86751493 -34.247131 -49.704944
    Unten rechts KachelX + 1 53068 KachelY + 1 86453 -0.59767726 -0.86751493 -34.244385 -49.704944
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.86748393--0.86751493) × R
    3.10000000000032e-05 × 6371000     		dl = 197.501000000021m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.86748393--0.86751493) × R
    3.10000000000032e-05 × 6371000     		dr = 197.501000000021m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.59772520--0.59767726) × cos(-0.86748393) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.646747609248461 × 6371000     		do = 197.533367147813m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.59772520--0.59767726) × cos(-0.86751493) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.646723965110892 × 6371000     		du = 197.526145619599m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.86748393)-sin(-0.86751493))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.646747609248461-0.646723965110892)×R²
    abs(-0.59767726--0.59772520)×2.36441375693897e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.36441375693897e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.36441375693897e-05×40589641000000     		ar = 39012.3244187199m²