Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53067 / 11845
↖ ↑ ↗
← N 81.279635°
W 34.247131°		 ← 46.31 m → N 81.279635°
W 34.244385°		 →
↑
46.32 m
↓
↑
46.32 m
↓
N 81.279219°
W 34.247131°		 ← 46.31 m →
2 145 m²		 N 81.279219°
W 34.244385°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53067 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11845 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.404872894287109 y=0.0903739929199219 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.404872894287109 × 217)
    floor (0.404872894287109 × 131072)
    floor (53067.5)     		tx = 53067
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0903739929199219 × 217)
    floor (0.0903739929199219 × 131072)
    floor (11845.5)     		ty = 11845
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53067 / 11845 ti = "17/53067/11845"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53067/11845.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53067 ÷ 217
    53067 ÷ 131072     		x = 0.404869079589844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11845 ÷ 217
    11845 ÷ 131072     		y = 0.0903701782226562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.404869079589844 × 2 - 1) × π
    -0.190261840820312 × 3.1415926535     		Λ = -0.59772520
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0903701782226562 × 2 - 1) × π
    0.819259643554688 × 3.1415926535     		Φ = 2.57378007750044
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.59772520} λ = -0.59772520}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.57378007750044))-π/2
    2×atan(13.115307736352)-π/2
    2×1.4946967876589-π/2
    2.98939357531781-1.57079632675     		φ = 1.41859725
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.59772520} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.247131°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41859725 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.279635°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53067 KachelY 11845 -0.59772520 1.41859725 -34.247131 81.279635
    Oben rechts KachelX + 1 53068 KachelY 11845 -0.59767726 1.41859725 -34.244385 81.279635
    Unten links KachelX 53067 KachelY + 1 11846 -0.59772520 1.41858998 -34.247131 81.279219
    Unten rechts KachelX + 1 53068 KachelY + 1 11846 -0.59767726 1.41858998 -34.244385 81.279219
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41859725-1.41858998) × R
    7.27000000000366e-06 × 6371000     		dl = 46.3171700000233m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41859725-1.41858998) × R
    7.27000000000366e-06 × 6371000     		dr = 46.3171700000233m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.59772520--0.59767726) × cos(1.41859725) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.151612152917341 × 6371000     		do = 46.3062539977416m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.59772520--0.59767726) × cos(1.41858998) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.151619338872581 × 6371000     		du = 46.3084487734384m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41859725)-sin(1.41858998))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.151612152917341-0.151619338872581)×R²
    abs(-0.59767726--0.59772520)×7.18595524015764e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.18595524015764e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.18595524015764e-06×40589641000000     		ar = 2144.82546636503m²