Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53066 / 22510
↖ ↑ ↗
← N 48.987427°
E111.500244°		 ← 400.81 m → N 48.987427°
E111.505737°		 →
↑
400.80 m
↓
↑
400.80 m
↓
N 48.983822°
E111.500244°		 ← 400.84 m →
160 652 m²		 N 48.983822°
E111.505737°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53066 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22510 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.809730529785156 y=0.343482971191406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.809730529785156 × 216)
    floor (0.809730529785156 × 65536)
    floor (53066.5)     		tx = 53066
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.343482971191406 × 216)
    floor (0.343482971191406 × 65536)
    floor (22510.5)     		ty = 22510
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53066 / 22510 ti = "16/53066/22510"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53066/22510.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53066 ÷ 216
    53066 ÷ 65536     		x = 0.809722900390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22510 ÷ 216
    22510 ÷ 65536     		y = 0.343475341796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.809722900390625 × 2 - 1) × π
    0.61944580078125 × 3.1415926535     		Λ = 1.94604638
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.343475341796875 × 2 - 1) × π
    0.31304931640625 × 3.1415926535     		Φ = 0.983473432605072
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.94604638} λ = 1.94604638}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.983473432605072))-π/2
    2×atan(2.67372714271855)-π/2
    2×1.21289411005587-π/2
    2.42578822011174-1.57079632675     		φ = 0.85499189
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.94604638} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 111.500244°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85499189 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.987427°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53066 KachelY 22510 1.94604638 0.85499189 111.500244 48.987427
    Oben rechts KachelX + 1 53067 KachelY 22510 1.94614225 0.85499189 111.505737 48.987427
    Unten links KachelX 53066 KachelY + 1 22511 1.94604638 0.85492898 111.500244 48.983822
    Unten rechts KachelX + 1 53067 KachelY + 1 22511 1.94614225 0.85492898 111.505737 48.983822
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85499189-0.85492898) × R
    6.29100000000271e-05 × 6371000     		dl = 400.799610000173m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85499189-0.85492898) × R
    6.29100000000271e-05 × 6371000     		dr = 400.799610000173m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.94604638-1.94614225) × cos(0.85499189) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.656224629287349 × 6371000     		do = 400.813977941488m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.94604638-1.94614225) × cos(0.85492898) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.656272097710288 × 6371000     		du = 400.84297107368m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85499189)-sin(0.85492898))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.656224629287349-0.656272097710288)×R²
    abs(1.94614225-1.94604638)×4.74684229387901e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.74684229387901e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.74684229387901e-05×40589641000000     		ar = 160651.896312487m²