Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53066 / 22509
↖ ↑ ↗
← N 48.991032°
E111.500244°		 ← 400.78 m → N 48.991032°
E111.505737°		 →
↑
400.86 m
↓
↑
400.86 m
↓
N 48.987427°
E111.500244°		 ← 400.81 m →
160 666 m²		 N 48.987427°
E111.505737°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53066 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22509 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.809730529785156 y=0.343467712402344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.809730529785156 × 216)
    floor (0.809730529785156 × 65536)
    floor (53066.5)     		tx = 53066
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.343467712402344 × 216)
    floor (0.343467712402344 × 65536)
    floor (22509.5)     		ty = 22509
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53066 / 22509 ti = "16/53066/22509"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53066/22509.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53066 ÷ 216
    53066 ÷ 65536     		x = 0.809722900390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22509 ÷ 216
    22509 ÷ 65536     		y = 0.343460083007812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.809722900390625 × 2 - 1) × π
    0.61944580078125 × 3.1415926535     		Λ = 1.94604638
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.343460083007812 × 2 - 1) × π
    0.313079833984375 × 3.1415926535     		Φ = 0.983569306404312
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.94604638} λ = 1.94604638}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.983569306404312))-π/2
    2×atan(2.67398349538641)-π/2
    2×1.21292556629208-π/2
    2.42585113258416-1.57079632675     		φ = 0.85505481
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.94604638} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 111.500244°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85505481 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.991032°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53066 KachelY 22509 1.94604638 0.85505481 111.500244 48.991032
    Oben rechts KachelX + 1 53067 KachelY 22509 1.94614225 0.85505481 111.505737 48.991032
    Unten links KachelX 53066 KachelY + 1 22510 1.94604638 0.85499189 111.500244 48.987427
    Unten rechts KachelX + 1 53067 KachelY + 1 22510 1.94614225 0.85499189 111.505737 48.987427
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85505481-0.85499189) × R
    6.29200000000774e-05 × 6371000     		dl = 400.863320000493m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85505481-0.85499189) × R
    6.29200000000774e-05 × 6371000     		dr = 400.863320000493m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.94604638-1.94614225) × cos(0.85505481) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.656177150721222 × 6371000     		do = 400.78497861396m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.94604638-1.94614225) × cos(0.85499189) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.656224629287349 × 6371000     		du = 400.813977941488m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85505481)-sin(0.85499189))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.656177150721222-0.656224629287349)×R²
    abs(1.94614225-1.94604638)×4.74785661269683e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.74785661269683e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.74785661269683e-05×40589641000000     		ar = 160665.809569709m²