Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53065 / 102119
↖ ↑ ↗
← S 70.354783°
W 34.252625°		 ← 102.68 m → S 70.354783°
W 34.249878°		 →
↑
102.64 m
↓
↑
102.64 m
↓
S 70.355706°
W 34.252625°		 ← 102.68 m →
10 539 m²		 S 70.355706°
W 34.249878°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53065 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102119 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.404857635498047 y=0.779109954833984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.404857635498047 × 217)
    floor (0.404857635498047 × 131072)
    floor (53065.5)     		tx = 53065
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.779109954833984 × 217)
    floor (0.779109954833984 × 131072)
    floor (102119.5)     		ty = 102119
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53065 / 102119 ti = "17/53065/102119"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53065/102119.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53065 ÷ 217
    53065 ÷ 131072     		x = 0.404853820800781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102119 ÷ 217
    102119 ÷ 131072     		y = 0.779106140136719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.404853820800781 × 2 - 1) × π
    -0.190292358398438 × 3.1415926535     		Λ = -0.59782108
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.779106140136719 × 2 - 1) × π
    -0.558212280273438 × 3.1415926535     		Φ = -1.75367559880051
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.59782108} λ = -0.59782108}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.75367559880051))-π/2
    2×atan(0.173136392560758)-π/2
    2×0.171436865663162-π/2
    0.342873731326324-1.57079632675     		φ = -1.22792260
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.59782108} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.252625°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22792260 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.354783°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53065 KachelY 102119 -0.59782108 -1.22792260 -34.252625 -70.354783
    Oben rechts KachelX + 1 53066 KachelY 102119 -0.59777314 -1.22792260 -34.249878 -70.354783
    Unten links KachelX 53065 KachelY + 1 102120 -0.59782108 -1.22793871 -34.252625 -70.355706
    Unten rechts KachelX + 1 53066 KachelY + 1 102120 -0.59777314 -1.22793871 -34.249878 -70.355706
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22792260--1.22793871) × R
    1.61100000000136e-05 × 6371000     		dl = 102.636810000087m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22792260--1.22793871) × R
    1.61100000000136e-05 × 6371000     		dr = 102.636810000087m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.59782108--0.59777314) × cos(-1.22792260) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.336194930737004 × 6371000     		do = 102.682585504531m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.59782108--0.59777314) × cos(-1.22793871) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.336179758417439 × 6371000     		du = 102.6779514876m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22792260)-sin(-1.22793871))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.336194930737004-0.336179758417439)×R²
    abs(-0.59777314--0.59782108)×1.51723195651043e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.51723195651043e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.51723195651043e-05×40589641000000     		ar = 10538.7752085056m²