Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53062 / 93904
↖ ↑ ↗
← S 61.206798°
W 34.260864°		 ← 147.11 m → S 61.206798°
W 34.258118°		 →
↑
147.11 m
↓
↑
147.11 m
↓
S 61.208121°
W 34.260864°		 ← 147.10 m →
21 640 m²		 S 61.208121°
W 34.258118°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53062 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 93904 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.404834747314453 y=0.716434478759766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.404834747314453 × 217)
    floor (0.404834747314453 × 131072)
    floor (53062.5)     		tx = 53062
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.716434478759766 × 217)
    floor (0.716434478759766 × 131072)
    floor (93904.5)     		ty = 93904
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53062 / 93904 ti = "17/53062/93904"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53062/93904.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53062 ÷ 217
    53062 ÷ 131072     		x = 0.404830932617188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 93904 ÷ 217
    93904 ÷ 131072     		y = 0.7164306640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.404830932617188 × 2 - 1) × π
    -0.190338134765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.59796489
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7164306640625 × 2 - 1) × π
    -0.432861328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.35987396842175
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.59796489} λ = -0.59796489}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.35987396842175))-π/2
    2×atan(0.25669312635483)-π/2
    2×0.251268088183249-π/2
    0.502536176366498-1.57079632675     		φ = -1.06826015
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.59796489} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.260864°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.06826015 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.206798°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53062 KachelY 93904 -0.59796489 -1.06826015 -34.260864 -61.206798
    Oben rechts KachelX + 1 53063 KachelY 93904 -0.59791695 -1.06826015 -34.258118 -61.206798
    Unten links KachelX 53062 KachelY + 1 93905 -0.59796489 -1.06828324 -34.260864 -61.208121
    Unten rechts KachelX + 1 53063 KachelY + 1 93905 -0.59791695 -1.06828324 -34.258118 -61.208121
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.06826015--1.06828324) × R
    2.30900000000034e-05 × 6371000     		dl = 147.106390000022m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.06826015--1.06828324) × R
    2.30900000000034e-05 × 6371000     		dr = 147.106390000022m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.59796489--0.59791695) × cos(-1.06826015) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.481649698869343 × 6371000     		do = 147.10821569785m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.59796489--0.59791695) × cos(-1.06828324) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.481629463500048 × 6371000     		du = 147.102035295209m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.06826015)-sin(-1.06828324))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.481649698869343-0.481629463500048)×R²
    abs(-0.59791695--0.59796489)×2.02353692946855e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.02353692946855e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.02353692946855e-05×40589641000000     		ar = 21640.1039631521m²