Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53061 / 11861
↖ ↑ ↗
← N 81.272970°
W 34.263611°		 ← 46.33 m → N 81.272970°
W 34.260864°		 →
↑
46.32 m
↓
↑
46.32 m
↓
N 81.272553°
W 34.263611°		 ← 46.33 m →
2 146 m²		 N 81.272553°
W 34.260864°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53061 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11861 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.404827117919922 y=0.0904960632324219 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.404827117919922 × 217)
    floor (0.404827117919922 × 131072)
    floor (53061.5)     		tx = 53061
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0904960632324219 × 217)
    floor (0.0904960632324219 × 131072)
    floor (11861.5)     		ty = 11861
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53061 / 11861 ti = "17/53061/11861"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53061/11861.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53061 ÷ 217
    53061 ÷ 131072     		x = 0.404823303222656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11861 ÷ 217
    11861 ÷ 131072     		y = 0.0904922485351562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.404823303222656 × 2 - 1) × π
    -0.190353393554688 × 3.1415926535     		Λ = -0.59801282
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0904922485351562 × 2 - 1) × π
    0.819015502929688 × 3.1415926535     		Φ = 2.57301308710651
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.59801282} λ = -0.59801282}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.57301308710651))-π/2
    2×atan(13.1052522780179)-π/2
    2×1.49463862308083-π/2
    2.98927724616167-1.57079632675     		φ = 1.41848092
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.59801282} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.263611°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41848092 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.272970°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53061 KachelY 11861 -0.59801282 1.41848092 -34.263611 81.272970
    Oben rechts KachelX + 1 53062 KachelY 11861 -0.59796489 1.41848092 -34.260864 81.272970
    Unten links KachelX 53061 KachelY + 1 11862 -0.59801282 1.41847365 -34.263611 81.272553
    Unten rechts KachelX + 1 53062 KachelY + 1 11862 -0.59796489 1.41847365 -34.260864 81.272553
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41848092-1.41847365) × R
    7.27000000000366e-06 × 6371000     		dl = 46.3171700000233m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41848092-1.41847365) × R
    7.27000000000366e-06 × 6371000     		dr = 46.3171700000233m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.59801282--0.59796489) × cos(1.41848092) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.151727137123572 × 6371000     		do = 46.3317065981706m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.59801282--0.59796489) × cos(1.41847365) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.151734322950539 × 6371000     		du = 46.3339008768805m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41848092)-sin(1.41847365))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.151727137123572-0.151734322950539)×R²
    abs(-0.59796489--0.59801282)×7.18582696718206e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.18582696718206e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.18582696718206e-06×40589641000000     		ar = 2146.00434716331m²