Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53060 / 102124
↖ ↑ ↗
← S 70.359399°
W 34.266357°		 ← 102.66 m → S 70.359399°
W 34.263611°		 →
↑
102.64 m
↓
↑
102.64 m
↓
S 70.360322°
W 34.266357°		 ← 102.65 m →
10 536 m²		 S 70.360322°
W 34.263611°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53060 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102124 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.404819488525391 y=0.779148101806641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.404819488525391 × 217)
    floor (0.404819488525391 × 131072)
    floor (53060.5)     		tx = 53060
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.779148101806641 × 217)
    floor (0.779148101806641 × 131072)
    floor (102124.5)     		ty = 102124
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53060 / 102124 ti = "17/53060/102124"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53060/102124.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53060 ÷ 217
    53060 ÷ 131072     		x = 0.404815673828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102124 ÷ 217
    102124 ÷ 131072     		y = 0.779144287109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.404815673828125 × 2 - 1) × π
    -0.19036865234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.59806076
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.779144287109375 × 2 - 1) × π
    -0.55828857421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.75391528329861
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.59806076} λ = -0.59806076}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.75391528329861))-π/2
    2×atan(0.173094899424234)-π/2
    2×0.171396579853166-π/2
    0.342793159706332-1.57079632675     		φ = -1.22800317
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.59806076} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.266357°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22800317 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.359399°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53060 KachelY 102124 -0.59806076 -1.22800317 -34.266357 -70.359399
    Oben rechts KachelX + 1 53061 KachelY 102124 -0.59801282 -1.22800317 -34.263611 -70.359399
    Unten links KachelX 53060 KachelY + 1 102125 -0.59806076 -1.22801928 -34.266357 -70.360322
    Unten rechts KachelX + 1 53061 KachelY + 1 102125 -0.59801282 -1.22801928 -34.263611 -70.360322
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22800317--1.22801928) × R
    1.61100000000136e-05 × 6371000     		dl = 102.636810000087m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22800317--1.22801928) × R
    1.61100000000136e-05 × 6371000     		dr = 102.636810000087m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.59806076--0.59801282) × cos(-1.22800317) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.336119049430333 × 6371000     		do = 102.659409400289m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.59806076--0.59801282) × cos(-1.22801928) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.336103876674452 × 6371000     		du = 102.654775250096m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22800317)-sin(-1.22801928))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.336119049430333-0.336103876674452)×R²
    abs(-0.59801282--0.59806076)×1.51727558811987e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.51727558811987e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.51727558811987e-05×40589641000000     		ar = 10536.3964802643m²