Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53059 / 22455
↖ ↑ ↗
← N 49.185294°
E111.461792°		 ← 399.22 m → N 49.185294°
E111.467285°		 →
↑
399.21 m
↓
↑
399.21 m
↓
N 49.181704°
E111.461792°		 ← 399.25 m →
159 377 m²		 N 49.181704°
E111.467285°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53059 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22455 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.809623718261719 y=0.342643737792969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.809623718261719 × 216)
    floor (0.809623718261719 × 65536)
    floor (53059.5)     		tx = 53059
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.342643737792969 × 216)
    floor (0.342643737792969 × 65536)
    floor (22455.5)     		ty = 22455
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53059 / 22455 ti = "16/53059/22455"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53059/22455.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53059 ÷ 216
    53059 ÷ 65536     		x = 0.809616088867188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22455 ÷ 216
    22455 ÷ 65536     		y = 0.342636108398438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.809616088867188 × 2 - 1) × π
    0.619232177734375 × 3.1415926535     		Λ = 1.94537526
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.342636108398438 × 2 - 1) × π
    0.314727783203125 × 3.1415926535     		Φ = 0.988746491563278
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.94537526} λ = 1.94537526}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.988746491563278))-π/2
    2×atan(2.68786310069583)-π/2
    2×1.2146208247232-π/2
    2.42924164944641-1.57079632675     		φ = 0.85844532
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.94537526} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 111.461792°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85844532 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.185294°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53059 KachelY 22455 1.94537526 0.85844532 111.461792 49.185294
    Oben rechts KachelX + 1 53060 KachelY 22455 1.94547113 0.85844532 111.467285 49.185294
    Unten links KachelX 53059 KachelY + 1 22456 1.94537526 0.85838266 111.461792 49.181704
    Unten rechts KachelX + 1 53060 KachelY + 1 22456 1.94547113 0.85838266 111.467285 49.181704
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85844532-0.85838266) × R
    6.26599999999922e-05 × 6371000     		dl = 399.20685999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85844532-0.85838266) × R
    6.26599999999922e-05 × 6371000     		dr = 399.20685999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.94537526-1.94547113) × cos(0.85844532) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.653614881884833 × 6371000     		do = 399.219976145242m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.94537526-1.94547113) × cos(0.85838266) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.653662303401283 × 6371000     		du = 399.248940627525m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85844532)-sin(0.85838266))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.653614881884833-0.653662303401283)×R²
    abs(1.94547113-1.94537526)×4.7421516450763e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.7421516450763e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.7421516450763e-05×40589641000000     		ar = 159377.134588112m²