Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53058 / 94639
↖ ↑ ↗
← S 62.164220°
W 34.271850°		 ← 142.59 m → S 62.164220°
W 34.269104°		 →
↑
142.58 m
↓
↑
142.58 m
↓
S 62.165502°
W 34.271850°		 ← 142.58 m →
20 330 m²		 S 62.165502°
W 34.269104°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53058 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 94639 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.404804229736328 y=0.722042083740234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.404804229736328 × 217)
    floor (0.404804229736328 × 131072)
    floor (53058.5)     		tx = 53058
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.722042083740234 × 217)
    floor (0.722042083740234 × 131072)
    floor (94639.5)     		ty = 94639
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53058 / 94639 ti = "17/53058/94639"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53058/94639.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53058 ÷ 217
    53058 ÷ 131072     		x = 0.404800415039062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 94639 ÷ 217
    94639 ÷ 131072     		y = 0.722038269042969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.404800415039062 × 2 - 1) × π
    -0.190399169921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.59815663
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.722038269042969 × 2 - 1) × π
    -0.444076538085938 × 3.1415926535     		Φ = -1.39510758964249
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.59815663} λ = -0.59815663}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.39510758964249))-π/2
    2×atan(0.247806373533796)-π/2
    2×0.242913010266734-π/2
    0.485826020533468-1.57079632675     		φ = -1.08497031
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.59815663} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.271850°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.08497031 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.164220°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53058 KachelY 94639 -0.59815663 -1.08497031 -34.271850 -62.164220
    Oben rechts KachelX + 1 53059 KachelY 94639 -0.59810870 -1.08497031 -34.269104 -62.164220
    Unten links KachelX 53058 KachelY + 1 94640 -0.59815663 -1.08499269 -34.271850 -62.165502
    Unten rechts KachelX + 1 53059 KachelY + 1 94640 -0.59810870 -1.08499269 -34.269104 -62.165502
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.08497031--1.08499269) × R
    2.23799999998775e-05 × 6371000     		dl = 142.58297999922m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.08497031--1.08499269) × R
    2.23799999998775e-05 × 6371000     		dr = 142.58297999922m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.59815663--0.59810870) × cos(-1.08497031) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.466938956683715 × 6371000     		do = 142.585427698778m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.59815663--0.59810870) × cos(-1.08499269) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.46691916616662 × 6371000     		du = 142.579384426303m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.08497031)-sin(-1.08499269))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.466938956683715-0.46691916616662)×R²
    abs(-0.59810870--0.59815663)×1.97905170953305e-05×R²
    4.79299999999183e-05×1.97905170953305e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×1.97905170953305e-05×40589641000000     		ar = 20329.8243526934m²