Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 53057 / 94399
↖ ↑ ↗
← S 61.854853°
W 34.274597°		 ← 144.07 m → S 61.854853°
W 34.271850°		 →
↑
144.05 m
↓
↑
144.05 m
↓
S 61.856149°
W 34.274597°		 ← 144.07 m →
20 753 m²		 S 61.856149°
W 34.271850°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53057 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 94399 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.404796600341797 y=0.720211029052734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.404796600341797 × 217)
    floor (0.404796600341797 × 131072)
    floor (53057.5)     		tx = 53057
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.720211029052734 × 217)
    floor (0.720211029052734 × 131072)
    floor (94399.5)     		ty = 94399
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53057 / 94399 ti = "17/53057/94399"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53057/94399.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53057 ÷ 217
    53057 ÷ 131072     		x = 0.404792785644531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 94399 ÷ 217
    94399 ÷ 131072     		y = 0.720207214355469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.404792785644531 × 2 - 1) × π
    -0.190414428710938 × 3.1415926535     		Λ = -0.59820457
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.720207214355469 × 2 - 1) × π
    -0.440414428710938 × 3.1415926535     		Φ = -1.38360273373368
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.59820457} λ = -0.59820457}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.38360273373368))-π/2
    2×atan(0.250673813266867)-π/2
    2×0.245612739704992-π/2
    0.491225479409985-1.57079632675     		φ = -1.07957085
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.59820457} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.274597°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.07957085 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.854853°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53057 KachelY 94399 -0.59820457 -1.07957085 -34.274597 -61.854853
    Oben rechts KachelX + 1 53058 KachelY 94399 -0.59815663 -1.07957085 -34.271850 -61.854853
    Unten links KachelX 53057 KachelY + 1 94400 -0.59820457 -1.07959346 -34.274597 -61.856149
    Unten rechts KachelX + 1 53058 KachelY + 1 94400 -0.59815663 -1.07959346 -34.271850 -61.856149
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.07957085--1.07959346) × R
    2.26099999998119e-05 × 6371000     		dl = 144.048309998802m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.07957085--1.07959346) × R
    2.26099999998119e-05 × 6371000     		dr = 144.048309998802m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.59820457--0.59815663) × cos(-1.07957085) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.47170681295274 × 6371000     		do = 144.071402409372m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.59820457--0.59815663) × cos(-1.07959346) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.471686876341331 × 6371000     		du = 144.065313255079m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.07957085)-sin(-1.07959346))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.47170681295274-0.471686876341331)×R²
    abs(-0.59815663--0.59820457)×1.99366114092547e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.99366114092547e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.99366114092547e-05×40589641000000     		ar = 20752.8034709153m²