Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53056 / 94640
↖ ↑ ↗
← S 62.165502°
W 34.277344°		 ← 142.61 m → S 62.165502°
W 34.274597°		 →
↑
142.58 m
↓
↑
142.58 m
↓
S 62.166784°
W 34.277344°		 ← 142.60 m →
20 333 m²		 S 62.166784°
W 34.274597°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53056 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 94640 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.404788970947266 y=0.722049713134766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.404788970947266 × 217)
    floor (0.404788970947266 × 131072)
    floor (53056.5)     		tx = 53056
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.722049713134766 × 217)
    floor (0.722049713134766 × 131072)
    floor (94640.5)     		ty = 94640
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53056 / 94640 ti = "17/53056/94640"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53056/94640.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53056 ÷ 217
    53056 ÷ 131072     		x = 0.40478515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 94640 ÷ 217
    94640 ÷ 131072     		y = 0.7220458984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.40478515625 × 2 - 1) × π
    -0.1904296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.59825251
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7220458984375 × 2 - 1) × π
    -0.444091796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.39515552654211
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.59825251} λ = -0.59825251}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.39515552654211))-π/2
    2×atan(0.247794494749261)-π/2
    2×0.242901818700915-π/2
    0.485803637401831-1.57079632675     		φ = -1.08499269
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.59825251} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.277344°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.08499269 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.165502°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53056 KachelY 94640 -0.59825251 -1.08499269 -34.277344 -62.165502
    Oben rechts KachelX + 1 53057 KachelY 94640 -0.59820457 -1.08499269 -34.274597 -62.165502
    Unten links KachelX 53056 KachelY + 1 94641 -0.59825251 -1.08501507 -34.277344 -62.166784
    Unten rechts KachelX + 1 53057 KachelY + 1 94641 -0.59820457 -1.08501507 -34.274597 -62.166784
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.08499269--1.08501507) × R
    2.23800000000995e-05 × 6371000     		dl = 142.582980000634m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.08499269--1.08501507) × R
    2.23800000000995e-05 × 6371000     		dr = 142.582980000634m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.59825251--0.59820457) × cos(-1.08499269) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.46691916616662 × 6371000     		do = 142.609131846529m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.59825251--0.59820457) × cos(-1.08501507) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.466899375415661 × 6371000     		du = 142.603087241773m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.08499269)-sin(-1.08501507))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.46691916616662-0.466899375415661)×R²
    abs(-0.59820457--0.59825251)×1.97907509587036e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.97907509587036e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.97907509587036e-05×40589641000000     		ar = 20333.2040659883m²