Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53056 / 11841
↖ ↑ ↗
← N 81.281301°
W 34.277344°		 ← 46.30 m → N 81.281301°
W 34.274597°		 →
↑
46.32 m
↓
↑
46.32 m
↓
N 81.280884°
W 34.277344°		 ← 46.30 m →
2 144 m²		 N 81.280884°
W 34.274597°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53056 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11841 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.404788970947266 y=0.0903434753417969 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.404788970947266 × 217)
    floor (0.404788970947266 × 131072)
    floor (53056.5)     		tx = 53056
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0903434753417969 × 217)
    floor (0.0903434753417969 × 131072)
    floor (11841.5)     		ty = 11841
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53056 / 11841 ti = "17/53056/11841"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53056/11841.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53056 ÷ 217
    53056 ÷ 131072     		x = 0.40478515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11841 ÷ 217
    11841 ÷ 131072     		y = 0.0903396606445312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.40478515625 × 2 - 1) × π
    -0.1904296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.59825251
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0903396606445312 × 2 - 1) × π
    0.819320678710938 × 3.1415926535     		Φ = 2.57397182509892
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.59825251} λ = -0.59825251}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.57397182509892))-π/2
    2×atan(13.1178228062354)-π/2
    2×1.49471132191476-π/2
    2.98942264382952-1.57079632675     		φ = 1.41862632
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.59825251} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.277344°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41862632 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.281301°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53056 KachelY 11841 -0.59825251 1.41862632 -34.277344 81.281301
    Oben rechts KachelX + 1 53057 KachelY 11841 -0.59820457 1.41862632 -34.274597 81.281301
    Unten links KachelX 53056 KachelY + 1 11842 -0.59825251 1.41861905 -34.277344 81.280884
    Unten rechts KachelX + 1 53057 KachelY + 1 11842 -0.59820457 1.41861905 -34.274597 81.280884
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41862632-1.41861905) × R
    7.27000000000366e-06 × 6371000     		dl = 46.3171700000233m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41862632-1.41861905) × R
    7.27000000000366e-06 × 6371000     		dr = 46.3171700000233m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.59825251--0.59820457) × cos(1.41862632) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.151583418900697 × 6371000     		do = 46.2974778894451m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.59825251--0.59820457) × cos(1.41861905) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.151590604887977 × 6371000     		du = 46.2996726749275m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41862632)-sin(1.41861905))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.151583418900697-0.151590604887977)×R²
    abs(-0.59820457--0.59825251)×7.18598727941777e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.18598727941777e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.18598727941777e-06×40589641000000     		ar = 2144.41898221221m²