Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53055 / 94401
↖ ↑ ↗
← S 61.857444°
W 34.280090°		 ← 144.03 m → S 61.857444°
W 34.277344°		 →
↑
144.05 m
↓
↑
144.05 m
↓
S 61.858740°
W 34.280090°		 ← 144.02 m →
20 747 m²		 S 61.858740°
W 34.277344°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53055 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 94401 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.404781341552734 y=0.720226287841797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.404781341552734 × 217)
    floor (0.404781341552734 × 131072)
    floor (53055.5)     		tx = 53055
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.720226287841797 × 217)
    floor (0.720226287841797 × 131072)
    floor (94401.5)     		ty = 94401
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53055 / 94401 ti = "17/53055/94401"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53055/94401.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53055 ÷ 217
    53055 ÷ 131072     		x = 0.404777526855469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 94401 ÷ 217
    94401 ÷ 131072     		y = 0.720222473144531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.404777526855469 × 2 - 1) × π
    -0.190444946289062 × 3.1415926535     		Λ = -0.59830044
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.720222473144531 × 2 - 1) × π
    -0.440444946289062 × 3.1415926535     		Φ = -1.38369860753292
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.59830044} λ = -0.59830044}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.38369860753292))-π/2
    2×atan(0.250649781368052)-π/2
    2×0.245590128498505-π/2
    0.49118025699701-1.57079632675     		φ = -1.07961607
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.59830044} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.280090°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.07961607 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.857444°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53055 KachelY 94401 -0.59830044 -1.07961607 -34.280090 -61.857444
    Oben rechts KachelX + 1 53056 KachelY 94401 -0.59825251 -1.07961607 -34.277344 -61.857444
    Unten links KachelX 53055 KachelY + 1 94402 -0.59830044 -1.07963868 -34.280090 -61.858740
    Unten rechts KachelX + 1 53056 KachelY + 1 94402 -0.59825251 -1.07963868 -34.277344 -61.858740
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.07961607--1.07963868) × R
    2.2610000000034e-05 × 6371000     		dl = 144.048310000217m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.07961607--1.07963868) × R
    2.2610000000034e-05 × 6371000     		dr = 144.048310000217m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.59830044--0.59825251) × cos(-1.07961607) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.47166693948879 × 6371000     		do = 144.029174126272m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.59830044--0.59825251) × cos(-1.07963868) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.471647002395126 × 6371000     		du = 144.023086094879m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.07961607)-sin(-1.07963868))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.47166693948879-0.471647002395126)×R²
    abs(-0.59825251--0.59830044)×1.99370936633803e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.99370936633803e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.99370936633803e-05×40589641000000     		ar = 20746.7206391264m²