Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53052 / 11852
↖ ↑ ↗
← N 81.276720°
W 34.288330°		 ← 46.31 m → N 81.276720°
W 34.285584°		 →
↑
46.32 m
↓
↑
46.32 m
↓
N 81.276304°
W 34.288330°		 ← 46.31 m →
2 145 m²		 N 81.276304°
W 34.285584°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53052 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11852 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.404758453369141 y=0.0904273986816406 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.404758453369141 × 217)
    floor (0.404758453369141 × 131072)
    floor (53052.5)     		tx = 53052
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0904273986816406 × 217)
    floor (0.0904273986816406 × 131072)
    floor (11852.5)     		ty = 11852
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53052 / 11852 ti = "17/53052/11852"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53052/11852.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53052 ÷ 217
    53052 ÷ 131072     		x = 0.404754638671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11852 ÷ 217
    11852 ÷ 131072     		y = 0.090423583984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.404754638671875 × 2 - 1) × π
    -0.19049072265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.59844425
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.090423583984375 × 2 - 1) × π
    0.81915283203125 × 3.1415926535     		Φ = 2.57344451920309
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.59844425} λ = -0.59844425}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.57344451920309))-π/2
    2×atan(13.110907524324)-π/2
    2×1.49467134608174-π/2
    2.98934269216347-1.57079632675     		φ = 1.41854637
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.59844425} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.288330°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41854637 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.276720°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53052 KachelY 11852 -0.59844425 1.41854637 -34.288330 81.276720
    Oben rechts KachelX + 1 53053 KachelY 11852 -0.59839632 1.41854637 -34.285584 81.276720
    Unten links KachelX 53052 KachelY + 1 11853 -0.59844425 1.41853910 -34.288330 81.276304
    Unten rechts KachelX + 1 53053 KachelY + 1 11853 -0.59839632 1.41853910 -34.285584 81.276304
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41854637-1.41853910) × R
    7.27000000000366e-06 × 6371000     		dl = 46.3171700000233m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41854637-1.41853910) × R
    7.27000000000366e-06 × 6371000     		dr = 46.3171700000233m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.59844425--0.59839632) × cos(1.41854637) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.151662444551401 × 6371000     		do = 46.3119519430065m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.59844425--0.59839632) × cos(1.41853910) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.151669630450549 × 6371000     		du = 46.3141462437579m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41854637)-sin(1.41853910))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.151662444551401-0.151669630450549)×R²
    abs(-0.59839632--0.59844425)×7.1858991485263e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.1858991485263e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.1858991485263e-06×40589641000000     		ar = 2145.08936807131m²