Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53051 / 94643
↖ ↑ ↗
← S 62.169349°
W 34.291077°		 ← 142.59 m → S 62.169349°
W 34.288330°		 →
↑
142.58 m
↓
↑
142.58 m
↓
S 62.170631°
W 34.291077°		 ← 142.58 m →
20 331 m²		 S 62.170631°
W 34.288330°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53051 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 94643 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.404750823974609 y=0.722072601318359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.404750823974609 × 217)
    floor (0.404750823974609 × 131072)
    floor (53051.5)     		tx = 53051
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.722072601318359 × 217)
    floor (0.722072601318359 × 131072)
    floor (94643.5)     		ty = 94643
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53051 / 94643 ti = "17/53051/94643"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53051/94643.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53051 ÷ 217
    53051 ÷ 131072     		x = 0.404747009277344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 94643 ÷ 217
    94643 ÷ 131072     		y = 0.722068786621094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.404747009277344 × 2 - 1) × π
    -0.190505981445312 × 3.1415926535     		Λ = -0.59849219
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.722068786621094 × 2 - 1) × π
    -0.444137573242188 × 3.1415926535     		Φ = -1.39529933724097
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.59849219} λ = -0.59849219}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.39529933724097))-π/2
    2×atan(0.247758861812057)-π/2
    2×0.242868246849845-π/2
    0.48573649369969-1.57079632675     		φ = -1.08505983
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.59849219} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.291077°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.08505983 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.169349°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53051 KachelY 94643 -0.59849219 -1.08505983 -34.291077 -62.169349
    Oben rechts KachelX + 1 53052 KachelY 94643 -0.59844425 -1.08505983 -34.288330 -62.169349
    Unten links KachelX 53051 KachelY + 1 94644 -0.59849219 -1.08508221 -34.291077 -62.170631
    Unten rechts KachelX + 1 53052 KachelY + 1 94644 -0.59844425 -1.08508221 -34.288330 -62.170631
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.08505983--1.08508221) × R
    2.23799999998775e-05 × 6371000     		dl = 142.58297999922m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.08505983--1.08508221) × R
    2.23799999998775e-05 × 6371000     		dr = 142.58297999922m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.59849219--0.59844425) × cos(-1.08505983) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.466859793212194 × 6371000     		do = 142.590997817988m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.59849219--0.59844425) × cos(-1.08508221) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.466840001759705 × 6371000     		du = 142.584952998966m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.08505983)-sin(-1.08508221))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.466859793212194-0.466840001759705)×R²
    abs(-0.59844425--0.59849219)×1.97914524885934e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.97914524885934e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.97914524885934e-05×40589641000000     		ar = 20330.6184465209m²