Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 5305 / 6089
↖ ↑ ↗
← S 65.531171°
E 53.129883°		 ← 2 023.98 m → S 65.531171°
E 53.173828°		 →
↑
2 023.24 m
↓
↑
2 023.24 m
↓
S 65.549367°
E 53.129883°		 ← 2 022.56 m →
4 093 558 m²		 S 65.549367°
E 53.173828°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5305 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6089 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.64764404296875 y=0.74334716796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.64764404296875 × 213)
    floor (0.64764404296875 × 8192)
    floor (5305.5)     		tx = 5305
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.74334716796875 × 213)
    floor (0.74334716796875 × 8192)
    floor (6089.5)     		ty = 6089
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 5305 / 6089 ti = "13/5305/6089"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/5305/6089.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5305 ÷ 213
    5305 ÷ 8192     		x = 0.6475830078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6089 ÷ 213
    6089 ÷ 8192     		y = 0.7432861328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6475830078125 × 2 - 1) × π
    0.295166015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.92729139
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7432861328125 × 2 - 1) × π
    -0.486572265625 × 3.1415926535     		Φ = -1.52861185508435
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.92729139} λ = 0.92729139}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.52861185508435))-π/2
    2×atan(0.216836458924519)-π/2
    2×0.213530815313131-π/2
    0.427061630626262-1.57079632675     		φ = -1.14373470
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.92729139} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 53.129883°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14373470 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.531171°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5305 KachelY 6089 0.92729139 -1.14373470 53.129883 -65.531171
    Oben rechts KachelX + 1 5306 KachelY 6089 0.92805838 -1.14373470 53.173828 -65.531171
    Unten links KachelX 5305 KachelY + 1 6090 0.92729139 -1.14405227 53.129883 -65.549367
    Unten rechts KachelX + 1 5306 KachelY + 1 6090 0.92805838 -1.14405227 53.173828 -65.549367
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14373470--1.14405227) × R
    0.000317569999999989 × 6371000     		dl = 2023.23846999993m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14373470--1.14405227) × R
    0.000317569999999989 × 6371000     		dr = 2023.23846999993m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.92729139-0.92805838) × cos(-1.14373470) × R
    0.000766989999999912 × 0.414198126031731 × 6371000     		do = 2023.97636358439m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.92729139-0.92805838) × cos(-1.14405227) × R
    0.000766989999999912 × 0.413909057145611 × 6371000     		du = 2022.56383041202m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14373470)-sin(-1.14405227))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.414198126031731-0.413909057145611)×R²
    abs(0.92805838-0.92729139)×0.000289068886119792×R²
    0.000766989999999912×0.000289068886119792×6371000²
    0.000766989999999912×0.000289068886119792×40589641000000     		ar = 4093557.9298522m²