Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 5305 / 11482
↖ ↑ ↗
← S 58.378678°
W 63.435058°		 ← 1 280.98 m → S 58.378678°
W 63.413086°		 →
↑
1 280.83 m
↓
↑
1 280.83 m
↓
S 58.390197°
W 63.435058°		 ← 1 280.57 m →
1 640 450 m²		 S 58.390197°
W 63.413086°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5305 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11482 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.323822021484375 y=0.700836181640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.323822021484375 × 214)
    floor (0.323822021484375 × 16384)
    floor (5305.5)     		tx = 5305
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.700836181640625 × 214)
    floor (0.700836181640625 × 16384)
    floor (11482.5)     		ty = 11482
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 5305 / 11482 ti = "14/5305/11482"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/5305/11482.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5305 ÷ 214
    5305 ÷ 16384     		x = 0.32379150390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11482 ÷ 214
    11482 ÷ 16384     		y = 0.7008056640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.32379150390625 × 2 - 1) × π
    -0.3524169921875 × 3.1415926535     		Λ = -1.10715063
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7008056640625 × 2 - 1) × π
    -0.401611328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.26169919799988
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.10715063} λ = -1.10715063}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.26169919799988))-π/2
    2×atan(0.283172451406872)-π/2
    2×0.275948086669601-π/2
    0.551896173339202-1.57079632675     		φ = -1.01890015
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.10715063} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -63.435058°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.01890015 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -58.378678°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5305 KachelY 11482 -1.10715063 -1.01890015 -63.435058 -58.378678
    Oben rechts KachelX + 1 5306 KachelY 11482 -1.10676714 -1.01890015 -63.413086 -58.378678
    Unten links KachelX 5305 KachelY + 1 11483 -1.10715063 -1.01910119 -63.435058 -58.390197
    Unten rechts KachelX + 1 5306 KachelY + 1 11483 -1.10676714 -1.01910119 -63.413086 -58.390197
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.01890015--1.01910119) × R
    0.000201040000000097 × 6371000     		dl = 1280.82584000062m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.01890015--1.01910119) × R
    0.000201040000000097 × 6371000     		dr = 1280.82584000062m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.10715063--1.10676714) × cos(-1.01890015) × R
    0.000383489999999931 × 0.524302825520623 × 6371000     		do = 1280.98441775054m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.10715063--1.10676714) × cos(-1.01910119) × R
    0.000383489999999931 × 0.524131622956695 × 6371000     		du = 1280.56613311427m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.01890015)-sin(-1.01910119))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.524302825520623-0.524131622956695)×R²
    abs(-1.10676714--1.10715063)×0.000171202563927664×R²
    0.000383489999999931×0.000171202563927664×6371000²
    0.000383489999999931×0.000171202563927664×40589641000000     		ar = 1640450.07353335m²