Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53046 / 94611
↖ ↑ ↗
← S 62.128288°
W 34.304810°		 ← 142.78 m → S 62.128288°
W 34.302063°		 →
↑
142.77 m
↓
↑
142.77 m
↓
S 62.129572°
W 34.304810°		 ← 142.78 m →
20 386 m²		 S 62.129572°
W 34.302063°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53046 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 94611 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.404712677001953 y=0.721828460693359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.404712677001953 × 217)
    floor (0.404712677001953 × 131072)
    floor (53046.5)     		tx = 53046
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.721828460693359 × 217)
    floor (0.721828460693359 × 131072)
    floor (94611.5)     		ty = 94611
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53046 / 94611 ti = "17/53046/94611"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53046/94611.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53046 ÷ 217
    53046 ÷ 131072     		x = 0.404708862304688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 94611 ÷ 217
    94611 ÷ 131072     		y = 0.721824645996094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.404708862304688 × 2 - 1) × π
    -0.190582275390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.59873188
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.721824645996094 × 2 - 1) × π
    -0.443649291992188 × 3.1415926535     		Φ = -1.39376535645313
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.59873188} λ = -0.59873188}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.39376535645313))-π/2
    2×atan(0.248139210795528)-π/2
    2×0.243226566777824-π/2
    0.486453133555649-1.57079632675     		φ = -1.08434319
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.59873188} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.304810°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.08434319 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.128288°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53046 KachelY 94611 -0.59873188 -1.08434319 -34.304810 -62.128288
    Oben rechts KachelX + 1 53047 KachelY 94611 -0.59868394 -1.08434319 -34.302063 -62.128288
    Unten links KachelX 53046 KachelY + 1 94612 -0.59873188 -1.08436560 -34.304810 -62.129572
    Unten rechts KachelX + 1 53047 KachelY + 1 94612 -0.59868394 -1.08436560 -34.302063 -62.129572
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.08434319--1.08436560) × R
    2.24099999999172e-05 × 6371000     		dl = 142.774109999473m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.08434319--1.08436560) × R
    2.24099999999172e-05 × 6371000     		dr = 142.774109999473m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.59873188--0.59868394) × cos(-1.08434319) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.46749342049209 × 6371000     		do = 142.784523898834m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.59873188--0.59868394) × cos(-1.08436560) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.467473610011999 × 6371000     		du = 142.778473268293m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.08434319)-sin(-1.08436560))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.46749342049209-0.467473610011999)×R²
    abs(-0.59868394--0.59873188)×1.98104800908094e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.98104800908094e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.98104800908094e-05×40589641000000     		ar = 20385.5013854309m²