Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53045 / 94609
↖ ↑ ↗
← S 62.125720°
W 34.307556°		 ← 142.77 m → S 62.125720°
W 34.304810°		 →
↑
142.77 m
↓
↑
142.77 m
↓
S 62.127004°
W 34.307556°		 ← 142.76 m →
20 383 m²		 S 62.127004°
W 34.304810°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53045 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 94609 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.404705047607422 y=0.721813201904297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.404705047607422 × 217)
    floor (0.404705047607422 × 131072)
    floor (53045.5)     		tx = 53045
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.721813201904297 × 217)
    floor (0.721813201904297 × 131072)
    floor (94609.5)     		ty = 94609
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53045 / 94609 ti = "17/53045/94609"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53045/94609.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53045 ÷ 217
    53045 ÷ 131072     		x = 0.404701232910156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 94609 ÷ 217
    94609 ÷ 131072     		y = 0.721809387207031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.404701232910156 × 2 - 1) × π
    -0.190597534179688 × 3.1415926535     		Λ = -0.59877981
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.721809387207031 × 2 - 1) × π
    -0.443618774414062 × 3.1415926535     		Φ = -1.39366948265389
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.59877981} λ = -0.59877981}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.39366948265389))-π/2
    2×atan(0.248163001984865)-π/2
    2×0.243248977912533-π/2
    0.486497955825065-1.57079632675     		φ = -1.08429837
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.59877981} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.307556°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.08429837 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.125720°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53045 KachelY 94609 -0.59877981 -1.08429837 -34.307556 -62.125720
    Oben rechts KachelX + 1 53046 KachelY 94609 -0.59873188 -1.08429837 -34.304810 -62.125720
    Unten links KachelX 53045 KachelY + 1 94610 -0.59877981 -1.08432078 -34.307556 -62.127004
    Unten rechts KachelX + 1 53046 KachelY + 1 94610 -0.59873188 -1.08432078 -34.304810 -62.127004
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.08429837--1.08432078) × R
    2.24100000001393e-05 × 6371000     		dl = 142.774110000887m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.08429837--1.08432078) × R
    2.24100000001393e-05 × 6371000     		dr = 142.774110000887m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.59877981--0.59873188) × cos(-1.08429837) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.467533040747925 × 6371000     		do = 142.766838414947m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.59877981--0.59873188) × cos(-1.08432078) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.467513230737402 × 6371000     		du = 142.760789189919m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.08429837)-sin(-1.08432078))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.467533040747925-0.467513230737402)×R²
    abs(-0.59873188--0.59877981)×1.98100105230914e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.98100105230914e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.98100105230914e-05×40589641000000     		ar = 20382.9764567739m²