Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 53044 / 22204
↖ ↑ ↗
← N 50.078294°
E111.379394°		 ← 392.01 m → N 50.078294°
E111.384888°		 →
↑
391.94 m
↓
↑
391.94 m
↓
N 50.074770°
E111.379394°		 ← 392.04 m →
153 651 m²		 N 50.074770°
E111.384888°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53044 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22204 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.809394836425781 y=0.338813781738281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.809394836425781 × 216)
    floor (0.809394836425781 × 65536)
    floor (53044.5)     		tx = 53044
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.338813781738281 × 216)
    floor (0.338813781738281 × 65536)
    floor (22204.5)     		ty = 22204
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53044 / 22204 ti = "16/53044/22204"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53044/22204.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53044 ÷ 216
    53044 ÷ 65536     		x = 0.80938720703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22204 ÷ 216
    22204 ÷ 65536     		y = 0.33880615234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.80938720703125 × 2 - 1) × π
    0.6187744140625 × 3.1415926535     		Λ = 1.94393715
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.33880615234375 × 2 - 1) × π
    0.3223876953125 × 3.1415926535     		Φ = 1.01281081517255
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.94393715} λ = 1.94393715}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.01281081517255))-π/2
    2×atan(2.75332924823709)-π/2
    2×1.22241372520589-π/2
    2.44482745041179-1.57079632675     		φ = 0.87403112
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.94393715} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 111.379394°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87403112 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.078294°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53044 KachelY 22204 1.94393715 0.87403112 111.379394 50.078294
    Oben rechts KachelX + 1 53045 KachelY 22204 1.94403303 0.87403112 111.384888 50.078294
    Unten links KachelX 53044 KachelY + 1 22205 1.94393715 0.87396960 111.379394 50.074770
    Unten rechts KachelX + 1 53045 KachelY + 1 22205 1.94403303 0.87396960 111.384888 50.074770
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87403112-0.87396960) × R
    6.15200000000371e-05 × 6371000     		dl = 391.943920000236m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87403112-0.87396960) × R
    6.15200000000371e-05 × 6371000     		dr = 391.943920000236m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.94393715-1.94403303) × cos(0.87403112) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.641740214734451 × 6371000     		do = 392.0079599458m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.94393715-1.94403303) × cos(0.87396960) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.641787394567185 × 6371000     		du = 392.036779816452m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87403112)-sin(0.87396960))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.641740214734451-0.641787394567185)×R²
    abs(1.94403303-1.94393715)×4.71798327337236e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.71798327337236e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.71798327337236e-05×40589641000000     		ar = 153650.784427744m²