Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53043 / 94645
↖ ↑ ↗
← S 62.171913°
W 34.313049°		 ← 142.58 m → S 62.171913°
W 34.310303°		 →
↑
142.58 m
↓
↑
142.58 m
↓
S 62.173196°
W 34.313049°		 ← 142.57 m →
20 329 m²		 S 62.173196°
W 34.310303°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53043 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 94645 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.404689788818359 y=0.722087860107422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.404689788818359 × 217)
    floor (0.404689788818359 × 131072)
    floor (53043.5)     		tx = 53043
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.722087860107422 × 217)
    floor (0.722087860107422 × 131072)
    floor (94645.5)     		ty = 94645
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53043 / 94645 ti = "17/53043/94645"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53043/94645.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53043 ÷ 217
    53043 ÷ 131072     		x = 0.404685974121094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 94645 ÷ 217
    94645 ÷ 131072     		y = 0.722084045410156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.404685974121094 × 2 - 1) × π
    -0.190628051757812 × 3.1415926535     		Λ = -0.59887569
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.722084045410156 × 2 - 1) × π
    -0.444168090820312 × 3.1415926535     		Φ = -1.39539521104021
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.59887569} λ = -0.59887569}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.39539521104021))-π/2
    2×atan(0.247735109367317)-π/2
    2×0.24284586798764-π/2
    0.48569173597528-1.57079632675     		φ = -1.08510459
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.59887569} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.313049°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.08510459 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.171913°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53043 KachelY 94645 -0.59887569 -1.08510459 -34.313049 -62.171913
    Oben rechts KachelX + 1 53044 KachelY 94645 -0.59882775 -1.08510459 -34.310303 -62.171913
    Unten links KachelX 53043 KachelY + 1 94646 -0.59887569 -1.08512697 -34.313049 -62.173196
    Unten rechts KachelX + 1 53044 KachelY + 1 94646 -0.59882775 -1.08512697 -34.310303 -62.173196
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.08510459--1.08512697) × R
    2.23799999998775e-05 × 6371000     		dl = 142.58297999922m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.08510459--1.08512697) × R
    2.23799999998775e-05 × 6371000     		dr = 142.58297999922m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.59887569--0.59882775) × cos(-1.08510459) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.466820210073393 × 6371000     		do = 142.578908108528m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.59887569--0.59882775) × cos(-1.08512697) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.466800418153267 × 6371000     		du = 142.572863146678m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.08510459)-sin(-1.08512697))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.466820210073393-0.466800418153267)×R²
    abs(-0.59882775--0.59887569)×1.97919201258001e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.97919201258001e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.97919201258001e-05×40589641000000     		ar = 20328.8946496571m²