Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53041 / 94646
↖ ↑ ↗
← S 62.173196°
W 34.318542°		 ← 142.57 m → S 62.173196°
W 34.315796°		 →
↑
142.52 m
↓
↑
142.52 m
↓
S 62.174477°
W 34.318542°		 ← 142.57 m →
20 319 m²		 S 62.174477°
W 34.315796°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53041 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 94646 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.404674530029297 y=0.722095489501953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.404674530029297 × 217)
    floor (0.404674530029297 × 131072)
    floor (53041.5)     		tx = 53041
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.722095489501953 × 217)
    floor (0.722095489501953 × 131072)
    floor (94646.5)     		ty = 94646
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53041 / 94646 ti = "17/53041/94646"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53041/94646.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53041 ÷ 217
    53041 ÷ 131072     		x = 0.404670715332031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 94646 ÷ 217
    94646 ÷ 131072     		y = 0.722091674804688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.404670715332031 × 2 - 1) × π
    -0.190658569335938 × 3.1415926535     		Λ = -0.59897156
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.722091674804688 × 2 - 1) × π
    -0.444183349609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.39544314793983
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.59897156} λ = -0.59897156}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.39544314793983))-π/2
    2×atan(0.247723233998883)-π/2
    2×0.242834679268047-π/2
    0.485669358536094-1.57079632675     		φ = -1.08512697
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.59897156} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.318542°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.08512697 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.173196°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53041 KachelY 94646 -0.59897156 -1.08512697 -34.318542 -62.173196
    Oben rechts KachelX + 1 53042 KachelY 94646 -0.59892362 -1.08512697 -34.315796 -62.173196
    Unten links KachelX 53041 KachelY + 1 94647 -0.59897156 -1.08514934 -34.318542 -62.174477
    Unten rechts KachelX + 1 53042 KachelY + 1 94647 -0.59892362 -1.08514934 -34.315796 -62.174477
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.08512697--1.08514934) × R
    2.23700000001603e-05 × 6371000     		dl = 142.519270001021m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.08512697--1.08514934) × R
    2.23700000001603e-05 × 6371000     		dr = 142.519270001021m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.59897156--0.59892362) × cos(-1.08512697) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.466800418153267 × 6371000     		do = 142.572863146678m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.59897156--0.59892362) × cos(-1.08514934) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.466780634843069 × 6371000     		du = 142.566820814521m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.08512697)-sin(-1.08514934))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.466800418153267-0.466780634843069)×R²
    abs(-0.59892362--0.59897156)×1.97833101983624e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.97833101983624e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.97833101983624e-05×40589641000000     		ar = 20318.9498041351m²