Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53041 / 93899
↖ ↑ ↗
← S 61.200183°
W 34.318542°		 ← 147.14 m → S 61.200183°
W 34.315796°		 →
↑
147.17 m
↓
↑
147.17 m
↓
S 61.201506°
W 34.318542°		 ← 147.13 m →
21 654 m²		 S 61.201506°
W 34.315796°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53041 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 93899 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.404674530029297 y=0.716396331787109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.404674530029297 × 217)
    floor (0.404674530029297 × 131072)
    floor (53041.5)     		tx = 53041
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.716396331787109 × 217)
    floor (0.716396331787109 × 131072)
    floor (93899.5)     		ty = 93899
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53041 / 93899 ti = "17/53041/93899"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53041/93899.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53041 ÷ 217
    53041 ÷ 131072     		x = 0.404670715332031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 93899 ÷ 217
    93899 ÷ 131072     		y = 0.716392517089844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.404670715332031 × 2 - 1) × π
    -0.190658569335938 × 3.1415926535     		Λ = -0.59897156
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.716392517089844 × 2 - 1) × π
    -0.432785034179688 × 3.1415926535     		Φ = -1.35963428392365
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.59897156} λ = -0.59897156}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.35963428392365))-π/2
    2×atan(0.256754659091913)-π/2
    2×0.251325816228942-π/2
    0.502651632457885-1.57079632675     		φ = -1.06814469
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.59897156} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.318542°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.06814469 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.200183°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53041 KachelY 93899 -0.59897156 -1.06814469 -34.318542 -61.200183
    Oben rechts KachelX + 1 53042 KachelY 93899 -0.59892362 -1.06814469 -34.315796 -61.200183
    Unten links KachelX 53041 KachelY + 1 93900 -0.59897156 -1.06816779 -34.318542 -61.201506
    Unten rechts KachelX + 1 53042 KachelY + 1 93900 -0.59892362 -1.06816779 -34.315796 -61.201506
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.06814469--1.06816779) × R
    2.30999999999426e-05 × 6371000     		dl = 147.170099999634m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.06814469--1.06816779) × R
    2.30999999999426e-05 × 6371000     		dr = 147.170099999634m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.59897156--0.59892362) × cos(-1.06814469) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.481750880626823 × 6371000     		do = 147.139119211003m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.59897156--0.59892362) × cos(-1.06816779) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.481730637778507 × 6371000     		du = 147.132936524076m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.06814469)-sin(-1.06816779))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.481750880626823-0.481730637778507)×R²
    abs(-0.59892362--0.59897156)×2.02428483158101e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.02428483158101e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.02428483158101e-05×40589641000000     		ar = 21654.0239357533m²