Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53040 / 94648
↖ ↑ ↗
← S 62.175760°
W 34.321289°		 ← 142.56 m → S 62.175760°
W 34.318542°		 →
↑
142.52 m
↓
↑
142.52 m
↓
S 62.177041°
W 34.321289°		 ← 142.55 m →
20 317 m²		 S 62.177041°
W 34.318542°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53040 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 94648 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.404666900634766 y=0.722110748291016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.404666900634766 × 217)
    floor (0.404666900634766 × 131072)
    floor (53040.5)     		tx = 53040
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.722110748291016 × 217)
    floor (0.722110748291016 × 131072)
    floor (94648.5)     		ty = 94648
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53040 / 94648 ti = "17/53040/94648"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53040/94648.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53040 ÷ 217
    53040 ÷ 131072     		x = 0.4046630859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 94648 ÷ 217
    94648 ÷ 131072     		y = 0.72210693359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4046630859375 × 2 - 1) × π
    -0.190673828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.59901950
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.72210693359375 × 2 - 1) × π
    -0.4442138671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.39553902173907
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.59901950} λ = -0.59901950}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.39553902173907))-π/2
    2×atan(0.247699484969753)-π/2
    2×0.242812303251806-π/2
    0.485624606503613-1.57079632675     		φ = -1.08517172
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.59901950} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.321289°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.08517172 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.175760°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53040 KachelY 94648 -0.59901950 -1.08517172 -34.321289 -62.175760
    Oben rechts KachelX + 1 53041 KachelY 94648 -0.59897156 -1.08517172 -34.318542 -62.175760
    Unten links KachelX 53040 KachelY + 1 94649 -0.59901950 -1.08519409 -34.321289 -62.177041
    Unten rechts KachelX + 1 53041 KachelY + 1 94649 -0.59897156 -1.08519409 -34.318542 -62.177041
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.08517172--1.08519409) × R
    2.23699999999383e-05 × 6371000     		dl = 142.519269999607m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.08517172--1.08519409) × R
    2.23699999999383e-05 × 6371000     		dr = 142.519269999607m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.59901950--0.59897156) × cos(-1.08517172) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.46676084245545 × 6371000     		do = 142.560775710216m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.59901950--0.59897156) × cos(-1.08519409) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.466741058677988 × 6371000     		du = 142.554733235344m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.08517172)-sin(-1.08519409))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.46676084245545-0.466741058677988)×R²
    abs(-0.59897156--0.59901950)×1.97837774625342e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.97837774625342e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.97837774625342e-05×40589641000000     		ar = 20317.2271008859m²