Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 53040 / 94608
↖ ↑ ↗
← S 62.124436°
W 34.321289°		 ← 142.80 m → S 62.124436°
W 34.318542°		 →
↑
142.77 m
↓
↑
142.77 m
↓
S 62.125720°
W 34.321289°		 ← 142.80 m →
20 388 m²		 S 62.125720°
W 34.318542°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53040 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 94608 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.404666900634766 y=0.721805572509766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.404666900634766 × 217)
    floor (0.404666900634766 × 131072)
    floor (53040.5)     		tx = 53040
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.721805572509766 × 217)
    floor (0.721805572509766 × 131072)
    floor (94608.5)     		ty = 94608
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53040 / 94608 ti = "17/53040/94608"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53040/94608.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53040 ÷ 217
    53040 ÷ 131072     		x = 0.4046630859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 94608 ÷ 217
    94608 ÷ 131072     		y = 0.7218017578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4046630859375 × 2 - 1) × π
    -0.190673828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.59901950
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7218017578125 × 2 - 1) × π
    -0.443603515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.39362154575427
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.59901950} λ = -0.59901950}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.39362154575427))-π/2
    2×atan(0.248174898434918)-π/2
    2×0.243260184192165-π/2
    0.486520368384329-1.57079632675     		φ = -1.08427596
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.59901950} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.321289°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.08427596 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.124436°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53040 KachelY 94608 -0.59901950 -1.08427596 -34.321289 -62.124436
    Oben rechts KachelX + 1 53041 KachelY 94608 -0.59897156 -1.08427596 -34.318542 -62.124436
    Unten links KachelX 53040 KachelY + 1 94609 -0.59901950 -1.08429837 -34.321289 -62.125720
    Unten rechts KachelX + 1 53041 KachelY + 1 94609 -0.59897156 -1.08429837 -34.318542 -62.125720
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.08427596--1.08429837) × R
    2.24099999999172e-05 × 6371000     		dl = 142.774109999473m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.08427596--1.08429837) × R
    2.24099999999172e-05 × 6371000     		dr = 142.774109999473m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.59901950--0.59897156) × cos(-1.08427596) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.467552850523649 × 6371000     		do = 142.802675360532m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.59901950--0.59897156) × cos(-1.08429837) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.467533040747925 × 6371000     		du = 142.796624945122m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.08427596)-sin(-1.08429837))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.467552850523649-0.467533040747925)×R²
    abs(-0.59897156--0.59901950)×1.98097757240223e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.98097757240223e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.98097757240223e-05×40589641000000     		ar = 20388.0929597254m²