Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53040 / 50000
↖ ↑ ↗
← S 68.301905°
E111.357422°		 ← 225.82 m → S 68.301905°
E111.362915°		 →
↑
225.79 m
↓
↑
225.79 m
↓
S 68.303935°
E111.357422°		 ← 225.80 m →
50 985 m²		 S 68.303935°
E111.362915°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53040 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50000 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.809333801269531 y=0.762947082519531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.809333801269531 × 216)
    floor (0.809333801269531 × 65536)
    floor (53040.5)     		tx = 53040
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.762947082519531 × 216)
    floor (0.762947082519531 × 65536)
    floor (50000.5)     		ty = 50000
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53040 / 50000 ti = "16/53040/50000"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53040/50000.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53040 ÷ 216
    53040 ÷ 65536     		x = 0.809326171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50000 ÷ 216
    50000 ÷ 65536     		y = 0.762939453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.809326171875 × 2 - 1) × π
    0.61865234375 × 3.1415926535     		Λ = 1.94355366
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.762939453125 × 2 - 1) × π
    -0.52587890625 × 3.1415926535     		Φ = -1.65209730850562
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.94355366} λ = 1.94355366}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.65209730850562))-π/2
    2×atan(0.191647542804017)-π/2
    2×0.189351603690376-π/2
    0.378703207380753-1.57079632675     		φ = -1.19209312
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.94355366} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 111.357422°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19209312 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.301905°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53040 KachelY 50000 1.94355366 -1.19209312 111.357422 -68.301905
    Oben rechts KachelX + 1 53041 KachelY 50000 1.94364953 -1.19209312 111.362915 -68.301905
    Unten links KachelX 53040 KachelY + 1 50001 1.94355366 -1.19212856 111.357422 -68.303935
    Unten rechts KachelX + 1 53041 KachelY + 1 50001 1.94364953 -1.19212856 111.362915 -68.303935
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19209312--1.19212856) × R
    3.54399999999977e-05 × 6371000     		dl = 225.788239999985m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19209312--1.19212856) × R
    3.54399999999977e-05 × 6371000     		dr = 225.788239999985m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.94355366-1.94364953) × cos(-1.19209312) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.369715871877928 × 6371000     		do = 225.817932917921m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.94355366-1.94364953) × cos(-1.19212856) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.369682942751855 × 6371000     		du = 225.797820210438m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19209312)-sin(-1.19212856))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.369715871877928-0.369682942751855)×R²
    abs(1.94364953-1.94355366)×3.29291260732223e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.29291260732223e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.29291260732223e-05×40589641000000     		ar = 50984.7630327344m²