Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 5304 / 2807
↖ ↑ ↗
← N 81.532843°
W121.728516°		 ← 179.88 m → N 81.532843°
W121.717529°		 →
↑
179.85 m
↓
↑
179.85 m
↓
N 81.531226°
W121.728516°		 ← 179.91 m →
32 355 m²		 N 81.531226°
W121.717529°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5304 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2807 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.161880493164062 y=0.0856781005859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.161880493164062 × 215)
    floor (0.161880493164062 × 32768)
    floor (5304.5)     		tx = 5304
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0856781005859375 × 215)
    floor (0.0856781005859375 × 32768)
    floor (2807.5)     		ty = 2807
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 5304 / 2807 ti = "15/5304/2807"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/5304/2807.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5304 ÷ 215
    5304 ÷ 32768     		x = 0.161865234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2807 ÷ 215
    2807 ÷ 32768     		y = 0.085662841796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.161865234375 × 2 - 1) × π
    -0.67626953125 × 3.1415926535     		Λ = -2.12456339
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.085662841796875 × 2 - 1) × π
    0.82867431640625 × 3.1415926535     		Φ = 2.60335714456601
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.12456339} λ = -2.12456339}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.60335714456601))-π/2
    2×atan(13.5090137059474)-π/2
    2×1.49690644452285-π/2
    2.99381288904571-1.57079632675     		φ = 1.42301656
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.12456339} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -121.728516°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42301656 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.532843°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5304 KachelY 2807 -2.12456339 1.42301656 -121.728516 81.532843
    Oben rechts KachelX + 1 5305 KachelY 2807 -2.12437164 1.42301656 -121.717529 81.532843
    Unten links KachelX 5304 KachelY + 1 2808 -2.12456339 1.42298833 -121.728516 81.531226
    Unten rechts KachelX + 1 5305 KachelY + 1 2808 -2.12437164 1.42298833 -121.717529 81.531226
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42301656-1.42298833) × R
    2.82300000000735e-05 × 6371000     		dl = 179.853330000468m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42301656-1.42298833) × R
    2.82300000000735e-05 × 6371000     		dr = 179.853330000468m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.12456339--2.12437164) × cos(1.42301656) × R
    0.000191749999999935 × 0.147242463575054 × 6371000     		do = 179.877172769921m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.12456339--2.12437164) × cos(1.42298833) × R
    0.000191749999999935 × 0.147270385821466 × 6371000     		du = 179.911283682085m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42301656)-sin(1.42298833))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.147242463575054-0.147270385821466)×R²
    abs(-2.12437164--2.12456339)×2.79222464111828e-05×R²
    0.000191749999999935×2.79222464111828e-05×6371000²
    0.000191749999999935×2.79222464111828e-05×40589641000000     		ar = 32354.5759969336m²