Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53039 / 94607
↖ ↑ ↗
← S 62.123152°
W 34.324035°		 ← 142.78 m → S 62.123152°
W 34.321289°		 →
↑
142.84 m
↓
↑
142.84 m
↓
S 62.124436°
W 34.324035°		 ← 142.77 m →
20 394 m²		 S 62.124436°
W 34.321289°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53039 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 94607 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.404659271240234 y=0.721797943115234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.404659271240234 × 217)
    floor (0.404659271240234 × 131072)
    floor (53039.5)     		tx = 53039
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.721797943115234 × 217)
    floor (0.721797943115234 × 131072)
    floor (94607.5)     		ty = 94607
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53039 / 94607 ti = "17/53039/94607"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53039/94607.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53039 ÷ 217
    53039 ÷ 131072     		x = 0.404655456542969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 94607 ÷ 217
    94607 ÷ 131072     		y = 0.721794128417969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.404655456542969 × 2 - 1) × π
    -0.190689086914062 × 3.1415926535     		Λ = -0.59906743
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.721794128417969 × 2 - 1) × π
    -0.443588256835938 × 3.1415926535     		Φ = -1.39357360885465
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.59906743} λ = -0.59906743}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.39357360885465))-π/2
    2×atan(0.248186795455263)-π/2
    2×0.243271390946667-π/2
    0.486542781893335-1.57079632675     		φ = -1.08425354
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.59906743} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.324035°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.08425354 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.123152°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53039 KachelY 94607 -0.59906743 -1.08425354 -34.324035 -62.123152
    Oben rechts KachelX + 1 53040 KachelY 94607 -0.59901950 -1.08425354 -34.321289 -62.123152
    Unten links KachelX 53039 KachelY + 1 94608 -0.59906743 -1.08427596 -34.324035 -62.124436
    Unten rechts KachelX + 1 53040 KachelY + 1 94608 -0.59901950 -1.08427596 -34.321289 -62.124436
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.08425354--1.08427596) × R
    2.24200000000785e-05 × 6371000     		dl = 142.8378200005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.08425354--1.08427596) × R
    2.24200000000785e-05 × 6371000     		dr = 142.8378200005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.59906743--0.59901950) × cos(-1.08425354) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.467572668904111 × 6371000     		do = 142.778939348834m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.59906743--0.59901950) × cos(-1.08427596) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.467552850523649 × 6371000     		du = 142.772887567945m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.08425354)-sin(-1.08427596))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.467572668904111-0.467552850523649)×R²
    abs(-0.59901950--0.59906743)×1.98183804617225e-05×R²
    4.79299999999183e-05×1.98183804617225e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×1.98183804617225e-05×40589641000000     		ar = 20393.8002278507m²