Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53039 / 94361
↖ ↑ ↗
← S 61.805581°
W 34.324035°		 ← 144.27 m → S 61.805581°
W 34.321289°		 →
↑
144.30 m
↓
↑
144.30 m
↓
S 61.806879°
W 34.324035°		 ← 144.27 m →
20 819 m²		 S 61.806879°
W 34.321289°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53039 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 94361 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.404659271240234 y=0.719921112060547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.404659271240234 × 217)
    floor (0.404659271240234 × 131072)
    floor (53039.5)     		tx = 53039
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.719921112060547 × 217)
    floor (0.719921112060547 × 131072)
    floor (94361.5)     		ty = 94361
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53039 / 94361 ti = "17/53039/94361"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53039/94361.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53039 ÷ 217
    53039 ÷ 131072     		x = 0.404655456542969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 94361 ÷ 217
    94361 ÷ 131072     		y = 0.719917297363281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.404655456542969 × 2 - 1) × π
    -0.190689086914062 × 3.1415926535     		Λ = -0.59906743
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.719917297363281 × 2 - 1) × π
    -0.439834594726562 × 3.1415926535     		Φ = -1.38178113154812
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.59906743} λ = -0.59906743}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.38178113154812))-π/2
    2×atan(0.251130857382876)-π/2
    2×0.246042715958005-π/2
    0.49208543191601-1.57079632675     		φ = -1.07871089
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.59906743} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.324035°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.07871089 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.805581°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53039 KachelY 94361 -0.59906743 -1.07871089 -34.324035 -61.805581
    Oben rechts KachelX + 1 53040 KachelY 94361 -0.59901950 -1.07871089 -34.321289 -61.805581
    Unten links KachelX 53039 KachelY + 1 94362 -0.59906743 -1.07873354 -34.324035 -61.806879
    Unten rechts KachelX + 1 53040 KachelY + 1 94362 -0.59901950 -1.07873354 -34.321289 -61.806879
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.07871089--1.07873354) × R
    2.26500000000129e-05 × 6371000     		dl = 144.303150000082m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.07871089--1.07873354) × R
    2.26500000000129e-05 × 6371000     		dr = 144.303150000082m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.59906743--0.59901950) × cos(-1.07871089) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.472464912859512 × 6371000     		do = 144.272844894308m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.59906743--0.59901950) × cos(-1.07873354) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.472444950172597 × 6371000     		du = 144.266749047707m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.07871089)-sin(-1.07873354))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.472464912859512-0.472444950172597)×R²
    abs(-0.59901950--0.59906743)×1.9962686915731e-05×R²
    4.79299999999183e-05×1.9962686915731e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×1.9962686915731e-05×40589641000000     		ar = 20818.5861537088m²