Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53038 / 94362
↖ ↑ ↗
← S 61.806879°
W 34.326782°		 ← 144.30 m → S 61.806879°
W 34.324035°		 →
↑
144.30 m
↓
↑
144.30 m
↓
S 61.808177°
W 34.326782°		 ← 144.29 m →
20 822 m²		 S 61.808177°
W 34.324035°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53038 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 94362 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.404651641845703 y=0.719928741455078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.404651641845703 × 217)
    floor (0.404651641845703 × 131072)
    floor (53038.5)     		tx = 53038
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.719928741455078 × 217)
    floor (0.719928741455078 × 131072)
    floor (94362.5)     		ty = 94362
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53038 / 94362 ti = "17/53038/94362"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53038/94362.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53038 ÷ 217
    53038 ÷ 131072     		x = 0.404647827148438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 94362 ÷ 217
    94362 ÷ 131072     		y = 0.719924926757812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.404647827148438 × 2 - 1) × π
    -0.190704345703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.59911537
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.719924926757812 × 2 - 1) × π
    -0.439849853515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.38182906844774
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.59911537} λ = -0.59911537}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.38182906844774))-π/2
    2×atan(0.251118819236712)-π/2
    2×0.246031391945775-π/2
    0.492062783891549-1.57079632675     		φ = -1.07873354
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.59911537} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.326782°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.07873354 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.806879°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53038 KachelY 94362 -0.59911537 -1.07873354 -34.326782 -61.806879
    Oben rechts KachelX + 1 53039 KachelY 94362 -0.59906743 -1.07873354 -34.324035 -61.806879
    Unten links KachelX 53038 KachelY + 1 94363 -0.59911537 -1.07875619 -34.326782 -61.808177
    Unten rechts KachelX + 1 53039 KachelY + 1 94363 -0.59906743 -1.07875619 -34.324035 -61.808177
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.07873354--1.07875619) × R
    2.26500000000129e-05 × 6371000     		dl = 144.303150000082m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.07873354--1.07875619) × R
    2.26500000000129e-05 × 6371000     		dr = 144.303150000082m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.59911537--0.59906743) × cos(-1.07873354) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.472444950172597 × 6371000     		do = 144.296848515968m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.59911537--0.59906743) × cos(-1.07875619) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.472424987243306 × 6371000     		du = 144.290751323517m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.07873354)-sin(-1.07875619))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.472444950172597-0.472424987243306)×R²
    abs(-0.59906743--0.59911537)×1.99629292905734e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.99629292905734e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.99629292905734e-05×40589641000000     		ar = 20822.0498549568m²