Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53036 / 94356
↖ ↑ ↗
← S 61.799093°
W 34.332276°		 ← 144.33 m → S 61.799093°
W 34.329529°		 →
↑
144.30 m
↓
↑
144.30 m
↓
S 61.800390°
W 34.332276°		 ← 144.33 m →
20 827 m²		 S 61.800390°
W 34.329529°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53036 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 94356 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.404636383056641 y=0.719882965087891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.404636383056641 × 217)
    floor (0.404636383056641 × 131072)
    floor (53036.5)     		tx = 53036
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.719882965087891 × 217)
    floor (0.719882965087891 × 131072)
    floor (94356.5)     		ty = 94356
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53036 / 94356 ti = "17/53036/94356"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53036/94356.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53036 ÷ 217
    53036 ÷ 131072     		x = 0.404632568359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 94356 ÷ 217
    94356 ÷ 131072     		y = 0.719879150390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.404632568359375 × 2 - 1) × π
    -0.19073486328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.59921125
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.719879150390625 × 2 - 1) × π
    -0.43975830078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.38154144705002
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.59921125} λ = -0.59921125}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.38154144705002))-π/2
    2×atan(0.251191056770527)-π/2
    2×0.246099343196046-π/2
    0.492198686392091-1.57079632675     		φ = -1.07859764
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.59921125} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.332276°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.07859764 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.799093°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53036 KachelY 94356 -0.59921125 -1.07859764 -34.332276 -61.799093
    Oben rechts KachelX + 1 53037 KachelY 94356 -0.59916331 -1.07859764 -34.329529 -61.799093
    Unten links KachelX 53036 KachelY + 1 94357 -0.59921125 -1.07862029 -34.332276 -61.800390
    Unten rechts KachelX + 1 53037 KachelY + 1 94357 -0.59916331 -1.07862029 -34.329529 -61.800390
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.07859764--1.07862029) × R
    2.26500000000129e-05 × 6371000     		dl = 144.303150000082m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.07859764--1.07862029) × R
    2.26500000000129e-05 × 6371000     		dr = 144.303150000082m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.59921125--0.59916331) × cos(-1.07859764) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.472564722658109 × 6371000     		do = 144.333430115653m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.59921125--0.59916331) × cos(-1.07862029) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.472544761183221 × 6371000     		du = 144.327333367414m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.07859764)-sin(-1.07862029))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.472564722658109-0.472544761183221)×R²
    abs(-0.59916331--0.59921125)×1.99614748875865e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.99614748875865e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.99614748875865e-05×40589641000000     		ar = 20827.3287270728m²