Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53035 / 94357
↖ ↑ ↗
← S 61.800390°
W 34.335022°		 ← 144.30 m → S 61.800390°
W 34.332276°		 →
↑
144.37 m
↓
↑
144.37 m
↓
S 61.801689°
W 34.335022°		 ← 144.29 m →
20 831 m²		 S 61.801689°
W 34.332276°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53035 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 94357 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.404628753662109 y=0.719890594482422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.404628753662109 × 217)
    floor (0.404628753662109 × 131072)
    floor (53035.5)     		tx = 53035
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.719890594482422 × 217)
    floor (0.719890594482422 × 131072)
    floor (94357.5)     		ty = 94357
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53035 / 94357 ti = "17/53035/94357"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53035/94357.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53035 ÷ 217
    53035 ÷ 131072     		x = 0.404624938964844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 94357 ÷ 217
    94357 ÷ 131072     		y = 0.719886779785156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.404624938964844 × 2 - 1) × π
    -0.190750122070312 × 3.1415926535     		Λ = -0.59925918
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.719886779785156 × 2 - 1) × π
    -0.439773559570312 × 3.1415926535     		Φ = -1.38158938394964
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.59925918} λ = -0.59925918}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.38158938394964))-π/2
    2×atan(0.25117901573866)-π/2
    2×0.246088016791471-π/2
    0.492176033582941-1.57079632675     		φ = -1.07862029
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.59925918} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.335022°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.07862029 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.800390°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53035 KachelY 94357 -0.59925918 -1.07862029 -34.335022 -61.800390
    Oben rechts KachelX + 1 53036 KachelY 94357 -0.59921125 -1.07862029 -34.332276 -61.800390
    Unten links KachelX 53035 KachelY + 1 94358 -0.59925918 -1.07864295 -34.335022 -61.801689
    Unten rechts KachelX + 1 53036 KachelY + 1 94358 -0.59921125 -1.07864295 -34.332276 -61.801689
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.07862029--1.07864295) × R
    2.26600000001742e-05 × 6371000     		dl = 144.36686000111m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.07862029--1.07864295) × R
    2.26600000001742e-05 × 6371000     		dr = 144.36686000111m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.59925918--0.59921125) × cos(-1.07862029) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.472544761183221 × 6371000     		do = 144.297227540862m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.59925918--0.59921125) × cos(-1.07864295) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.472524790652734 × 6371000     		du = 144.291129299132m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.07862029)-sin(-1.07864295))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.472544761183221-0.472524790652734)×R²
    abs(-0.59921125--0.59925918)×1.99705304876896e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.99705304876896e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.99705304876896e-05×40589641000000     		ar = 20831.2974557447m²