Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53033 / 22435
↖ ↑ ↗
← N 49.257050°
E111.318970°		 ← 398.68 m → N 49.257050°
E111.324463°		 →
↑
398.63 m
↓
↑
398.63 m
↓
N 49.253465°
E111.318970°		 ← 398.71 m →
158 934 m²		 N 49.253465°
E111.324463°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53033 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22435 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.809226989746094 y=0.342338562011719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.809226989746094 × 216)
    floor (0.809226989746094 × 65536)
    floor (53033.5)     		tx = 53033
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.342338562011719 × 216)
    floor (0.342338562011719 × 65536)
    floor (22435.5)     		ty = 22435
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53033 / 22435 ti = "16/53033/22435"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53033/22435.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53033 ÷ 216
    53033 ÷ 65536     		x = 0.809219360351562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22435 ÷ 216
    22435 ÷ 65536     		y = 0.342330932617188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.809219360351562 × 2 - 1) × π
    0.618438720703125 × 3.1415926535     		Λ = 1.94288254
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.342330932617188 × 2 - 1) × π
    0.315338134765625 × 3.1415926535     		Φ = 0.990663967548081
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.94288254} λ = 1.94288254}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.990663967548081))-π/2
    2×atan(2.69302195805376)-π/2
    2×1.21524701550371-π/2
    2.43049403100742-1.57079632675     		φ = 0.85969770
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.94288254} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 111.318970°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85969770 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.257050°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53033 KachelY 22435 1.94288254 0.85969770 111.318970 49.257050
    Oben rechts KachelX + 1 53034 KachelY 22435 1.94297842 0.85969770 111.324463 49.257050
    Unten links KachelX 53033 KachelY + 1 22436 1.94288254 0.85963513 111.318970 49.253465
    Unten rechts KachelX + 1 53034 KachelY + 1 22436 1.94297842 0.85963513 111.324463 49.253465
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85969770-0.85963513) × R
    6.2569999999984e-05 × 6371000     		dl = 398.633469999898m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85969770-0.85963513) × R
    6.2569999999984e-05 × 6371000     		dr = 398.633469999898m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.94288254-1.94297842) × cos(0.85969770) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.652666534155732 × 6371000     		do = 398.682318335238m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.94288254-1.94297842) × cos(0.85963513) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.652713938744302 × 6371000     		du = 398.711275498325m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85969770)-sin(0.85963513))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.652666534155732-0.652713938744302)×R²
    abs(1.94297842-1.94288254)×4.74045885698882e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.74045885698882e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.74045885698882e-05×40589641000000     		ar = 158933.887684724m²