Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53032 / 94553
↖ ↑ ↗
← S 62.053724°
W 34.343262°		 ← 143.11 m → S 62.053724°
W 34.340515°		 →
↑
143.16 m
↓
↑
143.16 m
↓
S 62.055012°
W 34.343262°		 ← 143.10 m →
20 486 m²		 S 62.055012°
W 34.340515°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53032 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 94553 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.404605865478516 y=0.721385955810547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.404605865478516 × 217)
    floor (0.404605865478516 × 131072)
    floor (53032.5)     		tx = 53032
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.721385955810547 × 217)
    floor (0.721385955810547 × 131072)
    floor (94553.5)     		ty = 94553
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53032 / 94553 ti = "17/53032/94553"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53032/94553.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53032 ÷ 217
    53032 ÷ 131072     		x = 0.40460205078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 94553 ÷ 217
    94553 ÷ 131072     		y = 0.721382141113281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.40460205078125 × 2 - 1) × π
    -0.1907958984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.59940299
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.721382141113281 × 2 - 1) × π
    -0.442764282226562 × 3.1415926535     		Φ = -1.39098501627517
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.59940299} λ = -0.59940299}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.39098501627517))-π/2
    2×atan(0.248830082196735)-π/2
    2×0.243877261275002-π/2
    0.487754522550005-1.57079632675     		φ = -1.08304180
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.59940299} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.343262°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.08304180 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.053724°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53032 KachelY 94553 -0.59940299 -1.08304180 -34.343262 -62.053724
    Oben rechts KachelX + 1 53033 KachelY 94553 -0.59935506 -1.08304180 -34.340515 -62.053724
    Unten links KachelX 53032 KachelY + 1 94554 -0.59940299 -1.08306427 -34.343262 -62.055012
    Unten rechts KachelX + 1 53033 KachelY + 1 94554 -0.59935506 -1.08306427 -34.340515 -62.055012
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.08304180--1.08306427) × R
    2.24699999999967e-05 × 6371000     		dl = 143.156369999979m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.08304180--1.08306427) × R
    2.24699999999967e-05 × 6371000     		dr = 143.156369999979m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.59940299--0.59935506) × cos(-1.08304180) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.468643448561488 × 6371000     		do = 143.105914798693m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.59940299--0.59935506) × cos(-1.08306427) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.468623598728052 × 6371000     		du = 143.09985341326m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.08304180)-sin(-1.08306427))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.468643448561488-0.468623598728052)×R²
    abs(-0.59935506--0.59940299)×1.98498334353925e-05×R²
    4.79299999999183e-05×1.98498334353925e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×1.98498334353925e-05×40589641000000     		ar = 20486.0894260174m²