Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 53032 / 22552
↖ ↑ ↗
← N 48.835798°
E111.313477°		 ← 402.03 m → N 48.835798°
E111.318970°		 →
↑
402.07 m
↓
↑
402.07 m
↓
N 48.832182°
E111.313477°		 ← 402.06 m →
161 652 m²		 N 48.832182°
E111.318970°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53032 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22552 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.809211730957031 y=0.344123840332031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.809211730957031 × 216)
    floor (0.809211730957031 × 65536)
    floor (53032.5)     		tx = 53032
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.344123840332031 × 216)
    floor (0.344123840332031 × 65536)
    floor (22552.5)     		ty = 22552
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53032 / 22552 ti = "16/53032/22552"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53032/22552.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53032 ÷ 216
    53032 ÷ 65536     		x = 0.8092041015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22552 ÷ 216
    22552 ÷ 65536     		y = 0.3441162109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8092041015625 × 2 - 1) × π
    0.618408203125 × 3.1415926535     		Λ = 1.94278667
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3441162109375 × 2 - 1) × π
    0.311767578125 × 3.1415926535     		Φ = 0.979446733036987
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.94278667} λ = 1.94278667}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.979446733036987))-π/2
    2×atan(2.66298249404197)-π/2
    2×1.21157089266649-π/2
    2.42314178533298-1.57079632675     		φ = 0.85234546
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.94278667} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 111.313477°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85234546 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.835798°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53032 KachelY 22552 1.94278667 0.85234546 111.313477 48.835798
    Oben rechts KachelX + 1 53033 KachelY 22552 1.94288254 0.85234546 111.318970 48.835798
    Unten links KachelX 53032 KachelY + 1 22553 1.94278667 0.85228235 111.313477 48.832182
    Unten rechts KachelX + 1 53033 KachelY + 1 22553 1.94288254 0.85228235 111.318970 48.832182
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85234546-0.85228235) × R
    6.31100000000329e-05 × 6371000     		dl = 402.073810000209m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85234546-0.85228235) × R
    6.31100000000329e-05 × 6371000     		dr = 402.073810000209m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.94278667-1.94288254) × cos(0.85234546) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.658219234018474 × 6371000     		do = 402.032258117243m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.94278667-1.94288254) × cos(0.85228235) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.658266743575518 × 6371000     		du = 402.061276373644m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85234546)-sin(0.85228235))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.658219234018474-0.658266743575518)×R²
    abs(1.94288254-1.94278667)×4.75095570436901e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.75095570436901e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.75095570436901e-05×40589641000000     		ar = 161652.475558288m²