Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53032 / 11880
↖ ↑ ↗
← N 81.265048°
W 34.343262°		 ← 46.37 m → N 81.265048°
W 34.340515°		 →
↑
46.38 m
↓
↑
46.38 m
↓
N 81.264631°
W 34.343262°		 ← 46.38 m →
2 151 m²		 N 81.264631°
W 34.340515°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53032 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11880 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.404605865478516 y=0.0906410217285156 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.404605865478516 × 217)
    floor (0.404605865478516 × 131072)
    floor (53032.5)     		tx = 53032
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0906410217285156 × 217)
    floor (0.0906410217285156 × 131072)
    floor (11880.5)     		ty = 11880
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53032 / 11880 ti = "17/53032/11880"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53032/11880.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53032 ÷ 217
    53032 ÷ 131072     		x = 0.40460205078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11880 ÷ 217
    11880 ÷ 131072     		y = 0.09063720703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.40460205078125 × 2 - 1) × π
    -0.1907958984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.59940299
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.09063720703125 × 2 - 1) × π
    0.8187255859375 × 3.1415926535     		Φ = 2.57210228601373
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.59940299} λ = -0.59940299}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.57210228601373))-π/2
    2×atan(13.0933214340595)-π/2
    2×1.49456949534795-π/2
    2.9891389906959-1.57079632675     		φ = 1.41834266
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.59940299} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.343262°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41834266 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.265048°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53032 KachelY 11880 -0.59940299 1.41834266 -34.343262 81.265048
    Oben rechts KachelX + 1 53033 KachelY 11880 -0.59935506 1.41834266 -34.340515 81.265048
    Unten links KachelX 53032 KachelY + 1 11881 -0.59940299 1.41833538 -34.343262 81.264631
    Unten rechts KachelX + 1 53033 KachelY + 1 11881 -0.59935506 1.41833538 -34.340515 81.264631
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41834266-1.41833538) × R
    7.27999999994289e-06 × 6371000     		dl = 46.3808799996361m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41834266-1.41833538) × R
    7.27999999994289e-06 × 6371000     		dr = 46.3808799996361m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.59940299--0.59935506) × cos(1.41834266) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.151863794956416 × 6371000     		do = 46.3734367113159m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.59940299--0.59935506) × cos(1.41833538) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.151870990514806 × 6371000     		du = 46.3756339616327m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41834266)-sin(1.41833538))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.151863794956416-0.151870990514806)×R²
    abs(-0.59935506--0.59940299)×7.19555838951669e-06×R²
    4.79299999999183e-05×7.19555838951669e-06×6371000²
    4.79299999999183e-05×7.19555838951669e-06×40589641000000     		ar = 2150.89175842323m²