Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53031 / 94551
↖ ↑ ↗
← S 62.051150°
W 34.346008°		 ← 143.15 m → S 62.051150°
W 34.343262°		 →
↑
143.16 m
↓
↑
143.16 m
↓
S 62.052437°
W 34.346008°		 ← 143.14 m →
20 492 m²		 S 62.052437°
W 34.343262°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53031 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 94551 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.404598236083984 y=0.721370697021484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.404598236083984 × 217)
    floor (0.404598236083984 × 131072)
    floor (53031.5)     		tx = 53031
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.721370697021484 × 217)
    floor (0.721370697021484 × 131072)
    floor (94551.5)     		ty = 94551
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53031 / 94551 ti = "17/53031/94551"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53031/94551.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53031 ÷ 217
    53031 ÷ 131072     		x = 0.404594421386719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 94551 ÷ 217
    94551 ÷ 131072     		y = 0.721366882324219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.404594421386719 × 2 - 1) × π
    -0.190811157226562 × 3.1415926535     		Λ = -0.59945093
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.721366882324219 × 2 - 1) × π
    -0.442733764648438 × 3.1415926535     		Φ = -1.39088914247593
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.59945093} λ = -0.59945093}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.39088914247593))-π/2
    2×atan(0.248853939625714)-π/2
    2×0.243899727540129-π/2
    0.487799455080257-1.57079632675     		φ = -1.08299687
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.59945093} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.346008°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.08299687 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.051150°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53031 KachelY 94551 -0.59945093 -1.08299687 -34.346008 -62.051150
    Oben rechts KachelX + 1 53032 KachelY 94551 -0.59940299 -1.08299687 -34.343262 -62.051150
    Unten links KachelX 53031 KachelY + 1 94552 -0.59945093 -1.08301934 -34.346008 -62.052437
    Unten rechts KachelX + 1 53032 KachelY + 1 94552 -0.59940299 -1.08301934 -34.343262 -62.052437
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.08299687--1.08301934) × R
    2.24700000002187e-05 × 6371000     		dl = 143.156370001393m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.08299687--1.08301934) × R
    2.24700000002187e-05 × 6371000     		dr = 143.156370001393m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.59945093--0.59940299) × cos(-1.08299687) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.46868313868483 × 6371000     		do = 143.147894458574m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.59945093--0.59940299) × cos(-1.08301934) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.468663289324536 × 6371000     		du = 143.141831953018m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.08299687)-sin(-1.08301934))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.46868313868483-0.468663289324536)×R²
    abs(-0.59940299--0.59945093)×1.98493602938665e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.98493602938665e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.98493602938665e-05×40589641000000     		ar = 20492.0990017612m²