Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53031 / 22553
↖ ↑ ↗
← N 48.832182°
E111.307983°		 ← 402.10 m → N 48.832182°
E111.313477°		 →
↑
402.07 m
↓
↑
402.07 m
↓
N 48.828566°
E111.307983°		 ← 402.13 m →
161 681 m²		 N 48.828566°
E111.313477°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53031 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22553 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.809196472167969 y=0.344139099121094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.809196472167969 × 216)
    floor (0.809196472167969 × 65536)
    floor (53031.5)     		tx = 53031
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.344139099121094 × 216)
    floor (0.344139099121094 × 65536)
    floor (22553.5)     		ty = 22553
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53031 / 22553 ti = "16/53031/22553"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53031/22553.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53031 ÷ 216
    53031 ÷ 65536     		x = 0.809188842773438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22553 ÷ 216
    22553 ÷ 65536     		y = 0.344131469726562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.809188842773438 × 2 - 1) × π
    0.618377685546875 × 3.1415926535     		Λ = 1.94269079
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.344131469726562 × 2 - 1) × π
    0.311737060546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.979350859237747
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.94269079} λ = 1.94269079}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.979350859237747))-π/2
    2×atan(2.66272719603134)-π/2
    2×1.21153933853839-π/2
    2.42307867707679-1.57079632675     		φ = 0.85228235
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.94269079} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 111.307983°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85228235 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.832182°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53031 KachelY 22553 1.94269079 0.85228235 111.307983 48.832182
    Oben rechts KachelX + 1 53032 KachelY 22553 1.94278667 0.85228235 111.313477 48.832182
    Unten links KachelX 53031 KachelY + 1 22554 1.94269079 0.85221924 111.307983 48.828566
    Unten rechts KachelX + 1 53032 KachelY + 1 22554 1.94278667 0.85221924 111.313477 48.828566
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85228235-0.85221924) × R
    6.31099999999218e-05 × 6371000     		dl = 402.073809999502m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85228235-0.85221924) × R
    6.31099999999218e-05 × 6371000     		dr = 402.073809999502m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.94269079-1.94278667) × cos(0.85228235) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.658266743575518 × 6371000     		do = 402.103214548553m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.94269079-1.94278667) × cos(0.85221924) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.658314250510769 × 6371000     		du = 402.132234230262m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85228235)-sin(0.85221924))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.658266743575518-0.658314250510769)×R²
    abs(1.94278667-1.94269079)×4.75069352512403e-05×R²
    9.58800000001592e-05×4.75069352512403e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×4.75069352512403e-05×40589641000000     		ar = 161681.005567141m²