Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53028 / 50004
↖ ↑ ↗
← S 68.310027°
E111.291504°		 ← 225.76 m → S 68.310027°
E111.296997°		 →
↑
225.72 m
↓
↑
225.72 m
↓
S 68.312057°
E111.291504°		 ← 225.74 m →
50 958 m²		 S 68.312057°
E111.296997°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53028 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50004 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.809150695800781 y=0.763008117675781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.809150695800781 × 216)
    floor (0.809150695800781 × 65536)
    floor (53028.5)     		tx = 53028
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.763008117675781 × 216)
    floor (0.763008117675781 × 65536)
    floor (50004.5)     		ty = 50004
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53028 / 50004 ti = "16/53028/50004"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53028/50004.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53028 ÷ 216
    53028 ÷ 65536     		x = 0.80914306640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50004 ÷ 216
    50004 ÷ 65536     		y = 0.76300048828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.80914306640625 × 2 - 1) × π
    0.6182861328125 × 3.1415926535     		Λ = 1.94240317
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.76300048828125 × 2 - 1) × π
    -0.5260009765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.65248080370258
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.94240317} λ = 1.94240317}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.65248080370258))-π/2
    2×atan(0.191574060982705)-π/2
    2×0.189280724188691-π/2
    0.378561448377381-1.57079632675     		φ = -1.19223488
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.94240317} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 111.291504°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19223488 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.310027°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53028 KachelY 50004 1.94240317 -1.19223488 111.291504 -68.310027
    Oben rechts KachelX + 1 53029 KachelY 50004 1.94249905 -1.19223488 111.296997 -68.310027
    Unten links KachelX 53028 KachelY + 1 50005 1.94240317 -1.19227031 111.291504 -68.312057
    Unten rechts KachelX + 1 53029 KachelY + 1 50005 1.94249905 -1.19227031 111.296997 -68.312057
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19223488--1.19227031) × R
    3.54300000000585e-05 × 6371000     		dl = 225.724530000373m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19223488--1.19227031) × R
    3.54300000000585e-05 × 6371000     		dr = 225.724530000373m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.94240317-1.94249905) × cos(-1.19223488) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.369584152587885 × 6371000     		do = 225.761026592707m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.94240317-1.94249905) × cos(-1.19227031) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.369551230896885 × 6371000     		du = 225.740916329036m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19223488)-sin(-1.19227031))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.369584152587885-0.369551230896885)×R²
    abs(1.94249905-1.94240317)×3.29216909992214e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.29216909992214e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.29216909992214e-05×40589641000000     		ar = 50957.5319354378m²