Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53027 / 94372
↖ ↑ ↗
← S 61.819853°
W 34.356995°		 ← 144.24 m → S 61.819853°
W 34.354248°		 →
↑
144.24 m
↓
↑
144.24 m
↓
S 61.821150°
W 34.356995°		 ← 144.23 m →
20 804 m²		 S 61.821150°
W 34.354248°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53027 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 94372 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.404567718505859 y=0.720005035400391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.404567718505859 × 217)
    floor (0.404567718505859 × 131072)
    floor (53027.5)     		tx = 53027
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.720005035400391 × 217)
    floor (0.720005035400391 × 131072)
    floor (94372.5)     		ty = 94372
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53027 / 94372 ti = "17/53027/94372"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53027/94372.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53027 ÷ 217
    53027 ÷ 131072     		x = 0.404563903808594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 94372 ÷ 217
    94372 ÷ 131072     		y = 0.720001220703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.404563903808594 × 2 - 1) × π
    -0.190872192382812 × 3.1415926535     		Λ = -0.59964268
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.720001220703125 × 2 - 1) × π
    -0.44000244140625 × 3.1415926535     		Φ = -1.38230843744394
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.59964268} λ = -0.59964268}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.38230843744394))-π/2
    2×atan(0.250998469508676)-π/2
    2×0.245918178134511-π/2
    0.491836356269022-1.57079632675     		φ = -1.07895997
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.59964268} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.356995°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.07895997 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.819853°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53027 KachelY 94372 -0.59964268 -1.07895997 -34.356995 -61.819853
    Oben rechts KachelX + 1 53028 KachelY 94372 -0.59959474 -1.07895997 -34.354248 -61.819853
    Unten links KachelX 53027 KachelY + 1 94373 -0.59964268 -1.07898261 -34.356995 -61.821150
    Unten rechts KachelX + 1 53028 KachelY + 1 94373 -0.59959474 -1.07898261 -34.354248 -61.821150
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.07895997--1.07898261) × R
    2.26399999998517e-05 × 6371000     		dl = 144.239439999055m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.07895997--1.07898261) × R
    2.26399999998517e-05 × 6371000     		dr = 144.239439999055m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.59964268--0.59959474) × cos(-1.07895997) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.472245371677211 × 6371000     		do = 144.235892105993m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.59964268--0.59959474) × cos(-1.07898261) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.472225415140262 × 6371000     		du = 144.229796865927m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.07895997)-sin(-1.07898261))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.472245371677211-0.472225415140262)×R²
    abs(-0.59959474--0.59964268)×1.99565369490839e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.99565369490839e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.99565369490839e-05×40589641000000     		ar = 20804.0647191037m²