Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53027 / 22205
↖ ↑ ↗
← N 50.074770°
E111.286011°		 ← 392 m → N 50.074770°
E111.291504°		 →
↑
392.07 m
↓
↑
392.07 m
↓
N 50.071244°
E111.286011°		 ← 392.02 m →
153 696 m²		 N 50.071244°
E111.291504°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53027 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22205 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.809135437011719 y=0.338829040527344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.809135437011719 × 216)
    floor (0.809135437011719 × 65536)
    floor (53027.5)     		tx = 53027
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.338829040527344 × 216)
    floor (0.338829040527344 × 65536)
    floor (22205.5)     		ty = 22205
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53027 / 22205 ti = "16/53027/22205"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53027/22205.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53027 ÷ 216
    53027 ÷ 65536     		x = 0.809127807617188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22205 ÷ 216
    22205 ÷ 65536     		y = 0.338821411132812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.809127807617188 × 2 - 1) × π
    0.618255615234375 × 3.1415926535     		Λ = 1.94230730
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.338821411132812 × 2 - 1) × π
    0.322357177734375 × 3.1415926535     		Φ = 1.01271494137331
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.94230730} λ = 1.94230730}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.01271494137331))-π/2
    2×atan(2.7530652887551)-π/2
    2×1.22238296103879-π/2
    2.44476592207759-1.57079632675     		φ = 0.87396960
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.94230730} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 111.286011°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87396960 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.074770°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53027 KachelY 22205 1.94230730 0.87396960 111.286011 50.074770
    Oben rechts KachelX + 1 53028 KachelY 22205 1.94240317 0.87396960 111.291504 50.074770
    Unten links KachelX 53027 KachelY + 1 22206 1.94230730 0.87390806 111.286011 50.071244
    Unten rechts KachelX + 1 53028 KachelY + 1 22206 1.94240317 0.87390806 111.291504 50.071244
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87396960-0.87390806) × R
    6.15400000000266e-05 × 6371000     		dl = 392.071340000169m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87396960-0.87390806) × R
    6.15400000000266e-05 × 6371000     		dr = 392.071340000169m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.94230730-1.94240317) × cos(0.87396960) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.641787394567185 × 6371000     		do = 391.995891541793m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.94230730-1.94240317) × cos(0.87390806) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.641834587307802 × 6371000     		du = 392.024716290594m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87396960)-sin(0.87390806))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.641787394567185-0.641834587307802)×R²
    abs(1.94240317-1.94230730)×4.71927406165973e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.71927406165973e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.71927406165973e-05×40589641000000     		ar = 153696.005198416m²