Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 53024 / 93922
↖ ↑ ↗
← S 61.230601°
W 34.365234°		 ← 147 m → S 61.230601°
W 34.362488°		 →
↑
146.98 m
↓
↑
146.98 m
↓
S 61.231923°
W 34.365234°		 ← 146.99 m →
21 605 m²		 S 61.231923°
W 34.362488°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53024 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 93922 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.404544830322266 y=0.716571807861328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.404544830322266 × 217)
    floor (0.404544830322266 × 131072)
    floor (53024.5)     		tx = 53024
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.716571807861328 × 217)
    floor (0.716571807861328 × 131072)
    floor (93922.5)     		ty = 93922
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53024 / 93922 ti = "17/53024/93922"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53024/93922.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53024 ÷ 217
    53024 ÷ 131072     		x = 0.404541015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 93922 ÷ 217
    93922 ÷ 131072     		y = 0.716567993164062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.404541015625 × 2 - 1) × π
    -0.19091796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.59978649
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.716567993164062 × 2 - 1) × π
    -0.433135986328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.36073683261491
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.59978649} λ = -0.59978649}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.36073683261491))-π/2
    2×atan(0.256471730578448)-π/2
    2×0.251060367597272-π/2
    0.502120735194544-1.57079632675     		φ = -1.06867559
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.59978649} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.365234°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.06867559 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.230601°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53024 KachelY 93922 -0.59978649 -1.06867559 -34.365234 -61.230601
    Oben rechts KachelX + 1 53025 KachelY 93922 -0.59973855 -1.06867559 -34.362488 -61.230601
    Unten links KachelX 53024 KachelY + 1 93923 -0.59978649 -1.06869866 -34.365234 -61.231923
    Unten rechts KachelX + 1 53025 KachelY + 1 93923 -0.59973855 -1.06869866 -34.362488 -61.231923
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.06867559--1.06869866) × R
    2.30699999999029e-05 × 6371000     		dl = 146.978969999381m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.06867559--1.06869866) × R
    2.30699999999029e-05 × 6371000     		dr = 146.978969999381m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.59978649--0.59973855) × cos(-1.06867559) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.481285580725029 × 6371000     		do = 146.997004644175m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.59978649--0.59973855) × cos(-1.06869866) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.481265358268848 × 6371000     		du = 146.990828185532m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.06867559)-sin(-1.06869866))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.481285580725029-0.481265358268848)×R²
    abs(-0.59973855--0.59978649)×2.02224561813291e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.02224561813291e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.02224561813291e-05×40589641000000     		ar = 21605.0144318707m²