Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 53024 / 11682
↖ ↑ ↗
← N 81.347249°
W 34.365234°		 ← 45.95 m → N 81.347249°
W 34.362488°		 →
↑
45.93 m
↓
↑
45.93 m
↓
N 81.346836°
W 34.365234°		 ← 45.95 m →
2 111 m²		 N 81.346836°
W 34.362488°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53024 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11682 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.404544830322266 y=0.0891304016113281 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.404544830322266 × 217)
    floor (0.404544830322266 × 131072)
    floor (53024.5)     		tx = 53024
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0891304016113281 × 217)
    floor (0.0891304016113281 × 131072)
    floor (11682.5)     		ty = 11682
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53024 / 11682 ti = "17/53024/11682"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53024/11682.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53024 ÷ 217
    53024 ÷ 131072     		x = 0.404541015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11682 ÷ 217
    11682 ÷ 131072     		y = 0.0891265869140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.404541015625 × 2 - 1) × π
    -0.19091796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.59978649
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0891265869140625 × 2 - 1) × π
    0.821746826171875 × 3.1415926535     		Φ = 2.5815937921385
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.59978649} λ = -0.59978649}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.5815937921385))-π/2
    2×atan(13.2181884251258)-π/2
    2×1.4952868330681-π/2
    2.99057366613621-1.57079632675     		φ = 1.41977734
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.59978649} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.365234°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41977734 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.347249°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53024 KachelY 11682 -0.59978649 1.41977734 -34.365234 81.347249
    Oben rechts KachelX + 1 53025 KachelY 11682 -0.59973855 1.41977734 -34.362488 81.347249
    Unten links KachelX 53024 KachelY + 1 11683 -0.59978649 1.41977013 -34.365234 81.346836
    Unten rechts KachelX + 1 53025 KachelY + 1 11683 -0.59973855 1.41977013 -34.362488 81.346836
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41977734-1.41977013) × R
    7.20999999992422e-06 × 6371000     		dl = 45.9349099995172m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41977734-1.41977013) × R
    7.20999999992422e-06 × 6371000     		dr = 45.9349099995172m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.59978649--0.59973855) × cos(1.41977734) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.150445599387484 × 6371000     		do = 45.9499585226356m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.59978649--0.59973855) × cos(1.41977013) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.150452727321438 × 6371000     		du = 45.9521355771382m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41977734)-sin(1.41977013))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.150445599387484-0.150452727321438)×R²
    abs(-0.59973855--0.59978649)×7.12793395415967e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.12793395415967e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.12793395415967e-06×40589641000000     		ar = 2110.75721072271m²