Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53016 / 102216
↖ ↑ ↗
← S 70.444155°
W 34.387207°		 ← 102.21 m → S 70.444155°
W 34.384461°		 →
↑
102.25 m
↓
↑
102.25 m
↓
S 70.445074°
W 34.387207°		 ← 102.21 m →
10 451 m²		 S 70.445074°
W 34.384461°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53016 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102216 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.404483795166016 y=0.779850006103516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.404483795166016 × 217)
    floor (0.404483795166016 × 131072)
    floor (53016.5)     		tx = 53016
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.779850006103516 × 217)
    floor (0.779850006103516 × 131072)
    floor (102216.5)     		ty = 102216
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53016 / 102216 ti = "17/53016/102216"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53016/102216.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53016 ÷ 217
    53016 ÷ 131072     		x = 0.40447998046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102216 ÷ 217
    102216 ÷ 131072     		y = 0.77984619140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.40447998046875 × 2 - 1) × π
    -0.1910400390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.60016998
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.77984619140625 × 2 - 1) × π
    -0.5596923828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.75832547806366
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.60016998} λ = -0.60016998}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.75832547806366))-π/2
    2×atan(0.172333198065189)-π/2
    2×0.170656942027573-π/2
    0.341313884055147-1.57079632675     		φ = -1.22948244
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.60016998} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.387207°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22948244 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.444155°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53016 KachelY 102216 -0.60016998 -1.22948244 -34.387207 -70.444155
    Oben rechts KachelX + 1 53017 KachelY 102216 -0.60012205 -1.22948244 -34.384461 -70.444155
    Unten links KachelX 53016 KachelY + 1 102217 -0.60016998 -1.22949849 -34.387207 -70.445074
    Unten rechts KachelX + 1 53017 KachelY + 1 102217 -0.60012205 -1.22949849 -34.384461 -70.445074
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22948244--1.22949849) × R
    1.60500000001562e-05 × 6371000     		dl = 102.254550000995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22948244--1.22949849) × R
    1.60500000001562e-05 × 6371000     		dr = 102.254550000995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.60016998--0.60012205) × cos(-1.22948244) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.334725476841199 × 6371000     		do = 102.212451101009m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.60016998--0.60012205) × cos(-1.22949849) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.3347103526313 × 6371000     		du = 102.207832741572m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22948244)-sin(-1.22949849))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.334725476841199-0.3347103526313)×R²
    abs(-0.60012205--0.60016998)×1.51242098990201e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.51242098990201e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.51242098990201e-05×40589641000000     		ar = 10451.4520679906m²