Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53015 / 21788
↖ ↑ ↗
← N 51.522416°
E111.220093°		 ← 380.08 m → N 51.522416°
E111.225586°		 →
↑
380.09 m
↓
↑
380.09 m
↓
N 51.518998°
E111.220093°		 ← 380.11 m →
144 470 m²		 N 51.518998°
E111.225586°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53015 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21788 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.808952331542969 y=0.332466125488281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.808952331542969 × 216)
    floor (0.808952331542969 × 65536)
    floor (53015.5)     		tx = 53015
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.332466125488281 × 216)
    floor (0.332466125488281 × 65536)
    floor (21788.5)     		ty = 21788
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53015 / 21788 ti = "16/53015/21788"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53015/21788.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53015 ÷ 216
    53015 ÷ 65536     		x = 0.808944702148438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21788 ÷ 216
    21788 ÷ 65536     		y = 0.33245849609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.808944702148438 × 2 - 1) × π
    0.617889404296875 × 3.1415926535     		Λ = 1.94115681
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.33245849609375 × 2 - 1) × π
    0.3350830078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.05269431565643
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.94115681} λ = 1.94115681}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.05269431565643))-π/2
    2×atan(2.86536091385895)-π/2
    2×1.23501606299942-π/2
    2.47003212599885-1.57079632675     		φ = 0.89923580
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.94115681} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 111.220093°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89923580 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.522416°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53015 KachelY 21788 1.94115681 0.89923580 111.220093 51.522416
    Oben rechts KachelX + 1 53016 KachelY 21788 1.94125269 0.89923580 111.225586 51.522416
    Unten links KachelX 53015 KachelY + 1 21789 1.94115681 0.89917614 111.220093 51.518998
    Unten rechts KachelX + 1 53016 KachelY + 1 21789 1.94125269 0.89917614 111.225586 51.518998
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89923580-0.89917614) × R
    5.96600000000169e-05 × 6371000     		dl = 380.093860000108m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89923580-0.89917614) × R
    5.96600000000169e-05 × 6371000     		dr = 380.093860000108m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.94115681-1.94125269) × cos(0.89923580) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.622208405126124 × 6371000     		do = 380.076925139483m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.94115681-1.94125269) × cos(0.89917614) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.622255108948015 × 6371000     		du = 380.105454238207m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89923580)-sin(0.89917614))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.622208405126124-0.622255108948015)×R²
    abs(1.94125269-1.94115681)×4.67038218906479e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.67038218906479e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.67038218906479e-05×40589641000000     		ar = 144470.327483851m²