Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 53015 / 102218
↖ ↑ ↗
← S 70.445993°
W 34.389954°		 ← 102.22 m → S 70.445993°
W 34.387207°		 →
↑
102.25 m
↓
↑
102.25 m
↓
S 70.446913°
W 34.389954°		 ← 102.22 m →
10 453 m²		 S 70.446913°
W 34.387207°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53015 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102218 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.404476165771484 y=0.779865264892578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.404476165771484 × 217)
    floor (0.404476165771484 × 131072)
    floor (53015.5)     		tx = 53015
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.779865264892578 × 217)
    floor (0.779865264892578 × 131072)
    floor (102218.5)     		ty = 102218
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53015 / 102218 ti = "17/53015/102218"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53015/102218.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53015 ÷ 217
    53015 ÷ 131072     		x = 0.404472351074219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102218 ÷ 217
    102218 ÷ 131072     		y = 0.779861450195312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.404472351074219 × 2 - 1) × π
    -0.191055297851562 × 3.1415926535     		Λ = -0.60021792
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.779861450195312 × 2 - 1) × π
    -0.559722900390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.7584213518629
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.60021792} λ = -0.60021792}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.7584213518629))-π/2
    2×atan(0.172316676618755)-π/2
    2×0.170640897050906-π/2
    0.341281794101812-1.57079632675     		φ = -1.22951453
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.60021792} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.389954°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22951453 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.445993°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53015 KachelY 102218 -0.60021792 -1.22951453 -34.389954 -70.445993
    Oben rechts KachelX + 1 53016 KachelY 102218 -0.60016998 -1.22951453 -34.387207 -70.445993
    Unten links KachelX 53015 KachelY + 1 102219 -0.60021792 -1.22953058 -34.389954 -70.446913
    Unten rechts KachelX + 1 53016 KachelY + 1 102219 -0.60016998 -1.22953058 -34.387207 -70.446913
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22951453--1.22953058) × R
    1.60499999999342e-05 × 6371000     		dl = 102.254549999581m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22951453--1.22953058) × R
    1.60499999999342e-05 × 6371000     		dr = 102.254549999581m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.60021792--0.60016998) × cos(-1.22951453) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.334695237758443 × 6371000     		do = 102.224540666781m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.60021792--0.60016998) × cos(-1.22953058) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.334680113376158 × 6371000     		du = 102.21992129113m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22951453)-sin(-1.22953058))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.334695237758443-0.334680113376158)×R²
    abs(-0.60016998--0.60021792)×1.51243822856806e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.51243822856806e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.51243822856806e-05×40589641000000     		ar = 10452.6882289329m²